工科数学分析(上)复习试题-2016

1工科数学分析（上）复习卷（80学时）卷一一、填空（每小题3分，共15分，将答案写出，不填解题过程）1.若0x→时,211()1fxx+−与2arctanx是同阶无穷小,()fx与ax是等价无穷小,则a=.2.设向量,,abc满足()2×⋅=abc，则[]()()()+×+⋅+=abbcca．(注：不做，此内容放在下册)3.曲线22xyxe−=的渐近线方程是______________.4.定积分1221(1)__________.xxdx−+−=∫5.若2304()2xtfxdtt−=+∫，则()fx的单增区间为，单减区间为.二、选择题（每小题3分，共15分，每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，写出你认为正确的代号）.１.设2()(),()dfxgxhxxdx==，则[()]dfhxdx等于［］．2222()();()2();()();()2().AgxBxgxCxgxDxgx2.设曲线)(xfy=与arctansin()xtyxyedt20或−==∫在原点相切，则2lim()nnfn→∞=[].()1;()0;()2;()2ABCD3.][0),0,0(,的一段弧长为到从曲线aaaer===θθλλθ22002200()1;()1();()1();()1().aaaaAaedBaedCaedDaeaedλθλθλθλθλθλθλθθλλθ++++∫∫∫∫4.若()fx在(,)−∞+∞内连续且()()fxfx−=，在(,0)−∞内()0fx′，()0fx′′，则在(0,)+∞内有[]()0,()0;()0,()0;()0,()0;()0,()0.AfxfxBfxfxCfxfxDfxfx′′′′′′′′′′′′（）（）（）（）5.设1121011d,d(1)(1)+∞==++∫∫IxIxxxxx，则[].2(A)1I与2I均收敛；(B)1I发散,2I收敛；(C)1I与2I均发散；(D)1I收敛,2I发散.三、计算下列各题（每小题6分，5小题，共30分，要有解题过程）1.求极限20lim[1ln(1)]xxx→++2.已知函数2()610(0)yyyxexyxy′′=++−=由方程确定，求.3.设曲线C的方程为221,4(0)xtyttt=+=−≥,讨论曲线C的凹凸性.4.求不定积分∫+dxxx2315.设2311,0(),(2).,0xxxfxfxdxex−+=−≥∫求四、（7分）设点的在讨论是有界函数其中0)(,)(,0),(0,cos1)(2=≤−=xxfxgxxgxxxxxf连续性和可导性.五、（7分）已知∫′.)(,sin)(3dxxfxxxxf求的一个原函数为六、（7分）证明方程.022ln的实根）内有且仅有两个不同，在（∞+−=exx七、（7分）在半径为R的大圆中割出一个半径为r的同心小圆及与此小圆相切的一个弓形，问r为何值时，这割出的两部分的面积之和A最小。或:设质量均匀分布的平面薄板由曲线225:2xttCytt=+=−与x轴所围成，试求其质量m。八、（每题6分共12分）1.证明.11ln)1ln(0成立时，不等式xxxx+−+2.设()[]()()0,()()0,fxabfafbfafb′′==在，上有二阶导数，且证明（1）存在0)(),(=∈ξξfba，使得；(2)存在(,),()0.abfηη′′∈=使得答案:一.1.4；2.4；3.0=y；4.2；5.()2,0,(2,)−+∞在内单增,在(,2),(0,2)−∞−内单减.二.DCACD.三.1.2e;2.2−;3.3()0(0)yxtt−′′=−,曲线是下凹的.4.23/221(1)13xxc+−++;5.713e−．四.()fx在0x=处连续可导，且00f′=（）．五．2cos4sin6cosxxxxxc−−+．七．222()2RrArrRydyπ=+−∫,21Rrπ=+时,A取最小值.3或2(2)(101)dmydxtttdtρρ==−+，22044(2)(101)3mtttdtρ=−+=∫卷二一、填空1．32222(sin)cosd−+=∫xxxxππ.2．曲线16623−+=xxy的拐点坐标是_________3.设曲线()==nyfxx在点(1,1)处的切线与x轴交点为(,0)nξ,则lim()nnfξ→∞=.4.抛物线24.0xy=上的最大曲率=K______.5.1xedx−∫=______.2.或：已知||3||5ab==,，则=λ时，abλ+与abλ-互相垂直．(注：不做，此内容放在下册)二、选择题1.设在[,]ab上()0,()0,()0fxfxfx′′′，12()d,()(),baSfxxSfbba==−∫3()()()2fafbSba+=−，则()（A）123SSS；（B）213SSS；（C）312SSS；（D）231SSS.2.已知(1)1f′=,则0(1)(12sin)2(13tan)limxfxfxfxx→+++−−=（）.(A)9;（B）3;（C）-3;（D）0.3．如果,)(lim−∞=+→xfax那么（）.（A）当+→ax时，)(xf的极限存在；（B）)(xf在ax=处右连续；（C）)(xf在ax=的右邻域内有界；（D）曲线)(xfy=有渐近线ax=.4.已知：,20ab−ε)(xf在),(εε+−ba上连续，则（）.（A）)(xf在),(εε+−ba上必有最值；（B）)(xf在),(ba内无界；（C）)(xf在),(ba内一致连续；（D）)(xf在),(εε−+ba上不连续.5.设函数()fx的1阶导数连续，且()0fx′，令0()(2)()dxxtxfttΦ=−∫，则（）（A）(0)Φ是()xΦ的极大值；（B）(0)Φ是()xΦ的极小值；4（C）点0(0)Φ（，）不是曲线()yx=Φ的拐点;（D）(0)Φ不是()xΦ的极值，点0(0)Φ（，）是曲线()yx=Φ的拐点.三、求解下列各题1．由拉格朗日中值定理有()1xxxexeθ−=，其中0()1xθ．求0lim()θ→xx2．2()ln(1)fxxx=+，求()(0)(3)nfn≥.3.求∫−dxexx23.(或21lnd+∞∫xxx)4．求曲线1cosrθ=−上对应雨点6πθ=处的切线方程.5.求xxxfdxxfxf++=′′′∫110)1()(,)()(其中6.求10limsind−→∞∫xnenxx四、设()0,[,]fxxab′′∈，证明[]11()d()()22baabffxxfafbba+≤≤+−∫五、求0,nxnIxedxn+∞−=∫为自然数.六、求证从点(5,0)A到抛物线yx=上点(,)Pxy的连线中最短者正是该抛物线的法线.七、已知()fx在[0,]4π上单调可导,且满足方程()100cossin()sincosfxxttftdttdttt−−=+∫∫,求()fx.八、(1)设)(xf在),0[+∞上连续可微，且)()(xfxf′.如果1)0(=f，试证明：当0x时，xexf)(.(2)设()[,]′′∈−fxCaa,且(0)0=f.（1）写出一阶Maclaurin公式，余项为Lagrange型；（2）证明：存在(,)aaξ∈−，使3()3()ξ−′′=∫aaaffxdx．答案:一、1．8π；2．（-2，0）；3.1−e；4.45=K；5.212arctan1xxeec−−−+.35λ=±二、BADCD.三、1．12;2．()1!(0)(1)2nnnfn−=−−;3．2221122xxxeeC−−−−+.(21ln1xdxx+∞=∫)4．335044xy−−+=;5.218(1ln2)2+−;6.0.四、提示:左边不等式利用泰勒公式(在点02abx+=展开);右边不等式利用单调性.5五、1012000|(1)!!nxnxnxxnnnIxedxxenxedxnInnInedxn+∞+∞+∞−−+∞−−−−−==−+==−===∫∫∫.六、2229()||(5)(),2fxPAxxx==−+=时,即93(,)22P时,距离最短,再证P|APkk=法.七、()ln(sincos)fxxx=+,[0,]4xπ∈.八、1.提示:只需证明)0(),(lnxxfx即可.卷三一、填空（每小题3分，共15分，将答案填在题中横线上，不填解题过程）1.曲线sin22cos+=−xxyxx的水平渐进线是.2.函数xyxe−=的图形的拐点是.3.定积分11()xxxedx−−+=∫.4.函数()fx在区间I上有上界的定义是.或:数集A的上确界定义是．5.质点以速度2sinvtt=米/秒作直线运动,则从12tπ=到2tπ=秒内,该质点所经过的路程是_________米．或者：设{1,0,1},{1,2,0},{1,2,1}abc=−=−=−−，则()abc××=.(注：不做，此内容放在下册)二、选择题（每小题3分，共15分，每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内）.1.设函数()gx可微，1()(),(1)1,(1)2+′′===gxfxefg则1()g等于[]ln31;()ln31;()ln21;()ln21.−−−−−−ABCD（）2.设(),()fxgx0，且可导，()()()()0.′′−fxgxfxgx则当axb时[](A)()()()()fxgbfbgx；(B)()()()()fxgafagx；(C)()()()()fxgxfbgb；(D)()()()()fxgxfaga.3.设()fx在0x=的某邻域内连续，且(0)0=f，0()lim31cosxfxx→=−，则在0x=处()fx[](A)取得极小值；(B)取得极大值；(C)不可导；(D)可导且(0)0′≠f4.设函数220(),()sin4==−+∫xtfxdtgxxxt，当0→x时，)(xf是)(xg的[](A)高阶无穷小;(B)低阶无穷小;(C)同阶非等价无穷小;(D)等价无穷小.65.曲线21ln(1)02=−≤≤上yxx一段弧长s=[]（A）122011d1+−∫xx；（B）122201d1+−∫xxx；（C）122021d1−+−∫xxx；（D）12201ln(1)d+−∫xx.三、计算下列各题（每小题6分，5小题，共30分，要有解题过程）1.求2301cos(1)limtansinxxexx→−−⋅.(或()1limxxxxe→+∞+或tan01limxxx+→)2.求21cosdxx+∫.3.求21201xdxx−∫.或：设()yyx=由12ln12d25utexuuytye+=−+=∫所确定（t1），求dydx4.求一曲线方程，这曲线过点)56,3(，并且它在点),(yx处的切线斜率等于2115+xx.5.设302,0(),(1).4,0xxexfxfxdxxx−≤=−−∫求四、（8分）已知()gx在0x=处连续且二阶可导，00=g（），(0)4g′=，若(),0()22,0gxxfxxx≠==讨论()fx在0=x处的连续性与可导性.五、（8分）已知∫∞+=02sinπdxxx，求广义积分∫∞+⋅0221sindxxx.六、（8分）若01x，证明不等式211xxex−−+.七、（8分）设1D是由抛物线22yx=和直线,2xax==及0y=所围成的平面区域,2D是由抛物线22yx=和直线0y=,xa=所围成的平面区域，其中02a(1)试求1D绕x轴旋转而成的旋转体体积1V，2D绕y轴旋转而成的旋转体体积2V.7(2)问a为何值时，12+VV取得最大值？并求此最大值。八、证明题1.试利用Lagrange（拉格朗日）微分中值定理证明：若函数xxxfsin)(+=，则：（1）存在常数0L，使得对任意的21,xx∈),(+∞−∞，有|||)()(|1212xxLxfxf−≤−成立.（2）xxxfsin)(+=在),(+∞−∞上一