精算师考试金融数学课本知识精粹

1第一篇：利息理论第一章：利息的基本概念tt0nt0'()=()()()(0)1)(dratatateAndtAnA、有关利息力:()()11(1)1(1)(1)2mpmpidivdemp、 =131 ttiitdid、但贴单利率下的利息力：：现下的利息力4严格单利法（英国法）投资期的确定常规单利法（欧洲大陆法）银行家规则（欧洲货币法）、11nkkknkkstts5、等时间法：2第二章年金....1....1+i11+i1nnnnnnnnaaaassss（1）、（1）......2mnmnmmnmnmvaaavaaa、3、零头付款问题：（1）上浮式（2）常规（3）扣减式4：变利率年金（1）各付款期间段的利率不同（2）各付款所依据的利率不同5、付款频率与计息频率不同的年金（1）付款频率低于计息频率的年金:1.......1........nknkknknkkassissaasiaa现值期末付年金：永续年金现值：终值：现值：期初付年金：永续年金现值：终值:3（2）付款频率高于计息频率的年金()()()()()()..()()()..()1:1.......(1)111........(1)1nmmnmnmmnmnnmmmnnmvaiiiivaddisi现值期末付年金：永续年金现值：终值：s现值：期初付年金：永续年金现值：终值:（3）连续年金（注意：与永续年金的区别）001(1)1(1)nntnnnntnvavdtisidt46、基本年金变化（1）各年付款额为等差数列0..0-101()()()=()+()=()+()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnanvVpaQiananvIaaiianvnaDanaiiVIavDaaaVIavDaaa现值期末付虹式年金：期末付平顶虹式年金:（2）各年付款额为等比数列0000:11()1:1:nikVkniVikVikiikV不存在不存在存在7、更一般变化的年金：（1）在()nIa的基础上，付款频率小于计息频率的形式0=nnkkanvakVis（2）在()nIa的基础上，付款频率大于计息频率的形式5()()..()()()()nmnmnnnmmnanvIaianvIai（m）每个计息期内的m次付款额保持不变每个计息期内的m次付款额保持不变（3）连续变化年金：○1：有n个计息期，利率为i，在t时刻付款率为t,其现值为()nnnanvIa○2：有n个计息期，利率为i，在t时刻付款率为()ft,其现值为0(0)()ntVftvdt第三章收益率1、收益率（内部收益率）由0(0)0ntttVvR可求出2、收益率的唯一性：（1）若在0~n期间内存在一时刻t，t之后的期间里现金流向是一致的，t之前的期内的现金流向也一致，并且这两个流向方向相反，则收益率唯一。6（2）若在0~n-1内各发生现金流的时刻，投资（包括支出及回收，总称投资）的积累额大于0，则该现金流唯一。3、再投资收益率：（1）情形一：在时刻0投资1单位，t时刻的积累值:1nis（2）情形二：在标准金中,t时刻的积累值：1()nnsnniIsnij4、基金收益率：A：期初基金的资本量B：期末基金的本息和I：投资期内基金所得收入tC：t时刻的现金流（01t）C：在此期间的现金流之和ttCC，（1）(1)ttIiACt（2）2IiABI（现金流在0-1期间内均匀分布）（3）(1)(1)IikAkBkI（其中(/)ttktCC）注意：上述求收益率的方法也叫投资额加权收益率5、时间加权收益率12(1)(1)()1miiiii6、投资组合法：计算出一个基于整个基金所得的平均收益率，然后根据每个资金账户所占比列与投资时间长度分配基金收益投资年法：按最初投资时间和投资所持续的时间，以及与各时间相联系的利率，积累值为：712112(1+)(1)(1)......(1+)(1)(1)(1).....(1+).....yyykyyyymykmCiiikmCiiiiikm（m为投资年法的年数，即若投资时间未满m年，利用投资年法计算收益；若超过部分按投资组合法计算收益率。在y年投资第t年收益率记为yti）7、股息贴现模型（1）每期末支付股息tD，假定该股票的收益率为r,则它的理论价格为：1(1)nnnDpr（2）每期末支付股息以公比（1+g）呈等比增长，假定该股票的收益率为r,-1gr,则它的理论价格为：1Dprg8第四章债务偿还1、分期偿还表（标准年金，贷款额na，年利率i，每期末还款额为1）时刻t每次还款额Rt每次还款中所包含的自增利息It每次还款中所包含的本金Pt未偿还贷款余额Bt0na11ina=1-vn1-ina=vnna-vn=1na211-vn-1vn-12na┋┋┋┋┋t11-vn-t+1vn-t+1nta┋┋┋┋┋n-111-v2v21an11-vv0总计nnnana第k期偿还款中的利息部分记为kI；本金部分为kp+11nkkIv1=nkkpv2、连续偿还的分期偿还表B(1)ptntrtnttatBaiS时刻的余额911tttIBtpIB时刻偿还的本金利息3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表（1）若偿还期计息k次（偿还频率小于计息频率）时刻s还款额Rs还款额中的利息部分Is还款额中的本金部分Ps贷款余额Bs0/nkask1[(1+i)k-1]/nkas=1-vnRk-Ik=vnB0-Pk=/nkkas2k11-vn-kvn-k2/nkkas┋┋┋┋┋tk11-vn-(t-1)kvn-(t-1)k/ntkkas┋┋┋┋┋n-k11-v2kv2k/kkasn11-vkvk0总计n/kn/k-/nkas/nkas10（2）若每计息期偿还嗲款m次（偿还频率大于计息频率）表（4-4）()mna的分期偿还表时刻s还款额Rs还款额中的利息部分Is还款额中的本金部分Ps贷款余额Bs0()mna1/m1/m()01(1)mniBvmmR1/m–I1/m=nvm1()01/1/mmnmBPa2/m1/m11(1)nmvmmnvm11()2/mnma┋┋┋┋┋t/m1/m11(1)tnmvm11tnmvm()/mntma┋┋┋┋┋n-1/m1/m21(1)mvmmvm21()1/mman1/m11(1)mvmmvm110总计nn-()mna()mna114、偿债基金表时刻每次总支出额Li+D利息支付Li基金存款D基金利息收入SFIt偿债基金余额SFBt净贷款余额NBt0L=Dnjs1Li+DLiD0D1jsL-D1js2Li+DLiDjD1js=D[(1+j)-1]D2jsL-D2js3Li+DLiDD[(1+j)2-1]D3jsL-D3js┋┋┋┋┋┋┋tLi+DLiDD[(1+j)t-1-1]DtjsL-Dtjs┋┋┋┋┋┋┋nLi+DLiDD[(1+j)n-1-1]Dnjs=LL-Dnjs=0总计n(Li+D)nLinDD()njsn=L-nD第五章债券及其定价理论1、债券价格1:CNrggi:n:G=Nr/npGit债券的价格N:债券的面值：债券的赎回值r:票利率：票息额:修正票息率=Nr/C(N=C时，g=r)收益率:票息到期支付次数K=Cv基础金额：所得税率（1）所得税后的债券价格：1211111(1)[(1)](1)Makeham()nnnnpNrtaCvpcNrtCiagtCKi基本公式：溢价、折价公式：基础金额公式：p=G(1-t)+[C-G(1-t)]v公式：p=K+（2）所得税、资本增益税后（当购买价格低于赎回值）的债券价格：'''2122(1)(1)(/)()()1/ntKtgiCKpptcpvptKC（3）如果债券的购买时间不是付息日，则债券的全价（tp）11(1)(1)(1)wwnwNrNrNrCtpiii2、溢价与折价本金调整：溢价摊销或折价积累期次票息利息收入本金调整账面值0g11()nipgia1g[1()]niigia()ngiv11()nigia2g1[1()]niigia1()ngiv21()nigia13tg1[1()]ntiigia1()ntgiv1()ntigian-1g2[1()]iigia2()giv11()igiang1[1()]iigia1()giv1合计ngng-p()nigiap3、票息支付周期内债券的估价债券的平价：ftkB扣除应计票息后的买价称为市价：mtkB公式：+fmtktkkBBNr或=-mftktkkBBNr=(1)(1)11(1)1(1)fktktkkkmktktBBiiNrNriiBBiNri（）理论法：=(1)2(1)ftktkmtktBBkiNrkNrBBkikNr（）实务法：=(1)3(1)fktktkmktktBBiNrkNrBBikNr（）混合法：144、收益率的确定由()npCCgiaPCkC可导出112kgninkn或112kgnik(12nn=1/2)()4()igig溢价发行：赎回日尽可能早、可赎回债券计算收益率时：折价发行:赎回日尽可能晚5、系列债券：t1t1t1t1()mmmmttttgpKCKi系列债券的价格其中：t1t1g/:mtmtNrCKC所有现金流现值之和：所有现金流之和第二篇利率期限结构第六章：利率期限结构理论,(1)(1)(1)ijijijiyfy1、远期利率：151mod12MacaulayDDD/(1):(1)=1NmacitiimactititiNtiitwyFwipyw、久期与修正久期：久期修正久期其中第次现金流的现值在现金流总和中所占的比例modmod21MacaulayC(1)1C(1+y)macNiititiiDyttCp3、凸度与修正凸度：凸度修正凸度+-E0+-0200+-D=242()Epppppppppp有效久期：、有效凸度：C其中、、表示债券期初价格、收益率在初始收益率基础上增加和减少时对应的价格第七章随机利率模型00()()12tstsrdstrdsteDte、时刻银行账户的价值、随机折现因子（,T）=16()()31RtTt-RtTtBttRteBtBte（,T）（,T）、连续复利收益率（,T）:T时刻到期的零息债券1单位面值在时刻的价格（,T）：连续复利收益率（,T）（,T）4leFF、远期单利(t,T,S)与远期复利(t,T,S),t时刻期限为[T,S]1(,)(1)(,)1(,)ln(,)leBtTFSTBtSBtTFSTBtS(t,T,S)=(t,T,S)=,ln(,)5,1,Tt-ftuduTtBtTftTTBteRtftuduTt、远期瞬时利率零息债券价格：（,T）连续复利收益率:（,T）=16