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2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系阅读教材P44～45，回答：1．把的两条直线叫做异面直线．2．公理4，若a∥b，b∥c，则，这三条直线可能为不共面的三条直线，平行线的这条性质叫传递性．3．画三棱锥P－ABC，写出其棱所在直线中，哪些直线互为异面直线．不同在任何一个平面内a∥c[解析]PA与BC；PB与AC；PC与AB分别为异面直线．4．已知平面ABD与平面CBD相交于直线BD，直线EF与直线GH分别在已知的两个平面内且相交于点M，点M是否在交线BD上？________[解析]M在直线BD上．∵EF∩GH＝M，∴M∈EF，M∈GH，∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面BCD，∴M∈平面ABD，M∈平面BCD，∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴M∈BD.本节学习重点：异面直线的概念和判定，平行线的传递性．本节学习难点：异面直线概念的理解1．空间两条直线的位置关系有三种：①两直线相交；②两直线平行；③两直线异面(以后说两直线均指两条不重合的直线)．空间两直线的三种位置关系，若从平面的基本性质方面来看可以分为：(1)在同一个平面内相交直线平行直线(2)不同在任何一个平面内——异面直线若从公共点数目方面来看可以分为：(1)只有一个公共点——相交直线(2)没有公共点平行直线异面直线2．异面直线的证明常采用下列两种证法(1)反证法，假设两直线共面，随后导出矛盾，故两直线异面．(2)过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线(异面直线判定定理)．3．公理4是平面几何中命题在空间的推广，初中的平面几何知识在空间中的同一平面内适用，而不在同一平面内，平面几何知识向空间的扩展必须通过证明才能应用．平行公理说明平行具有传递性．是论证两直线平行的主要依据，解决了直线在空间的平移问题，利用平行公理证明a∥c，关键是找到一条直线b，满足b∥a且b∥c.4．准确理解异面直线的概念(1)异面直线具有既不相交也不平行的特点，可通过实物模型和生活中所见来加强对这点的理解．(2)画异面直线时，为显示a、b两条异面直线既不平行又不相交的特点，通常画成下列图形．[例1]在正方体A1B1C1D1－ABCD中，与AB异面的棱有哪些？[分析]从图中擦去与AB相交或平行的所有棱后剩余棱即是．[解析]与AB异面的棱有A1D1、DD1、CC1、C1B1.已知m、n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，则l()A．与m、n都相交B．与m、n中至少一条相交C．与m、n都不相交D．与m、n中的一条直线相交[答案]B[解析]若m、n都不与l相交，∵m⊂α，n⊂β，∴m∥l、n∥l，∴m∥n∥l，这与m、n为异面直线矛盾，故l与m、n中至少一条相交.[例2]如图，E、F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形．[分析]若能证得四边形的一组对边平行且相等或两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．[证明]设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1又在矩形A1B1C1D1中A1D1綊B1C1∴EQ綊B1C1(平行公理)∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q又∵Q、F是矩形DD1C1C的两边中点，∴QD綊C1F，∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1Q綊DF又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF∴四边形B1EDF为平行四边形总结评述：公理4是我们证明分别在两个平面内的两条直线平行的常用工具．已知点P、Q、R、S分别是正方体的四条棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()[答案]C[解析]A、B中PQ与RS平行，D中PQ与RS相交．[例3]如图1，在一个长方体木块的A1C1面上有一点P，(1)过P点画一直线和棱CD平行，应怎样画？(2)若要求过P点画一条直线和BD平行，又该怎样画？[解析](1)过P画EF∥C1D1即可，因为CD∥C1D1，则EF∥CD.(2)过P画GH∥B1D1即可，因为BD∥B1D1，则GH∥BD，如图2.[例4]已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．1°求证四边形EFGH是平行四边形．2°若∠HEF＝60°，AC＝6，BD＝8，求四边形EFGH的面积．3°若AC＝BD，则四边形EFGH是什么图形．[解析]1°在△ABD中，E、H分别为AB，AD的中点，∴EH綊12BD，同理FG綊12BD，∴EH綊FG，∴四边形EFGH是平行四边形．2°∵BD＝8，∴EH＝4，同理由AC＝6得EF＝3，∴S▱EFGH＝EF·EH·sin∠HEF＝3×4×sin60°＝63.∴四边形EFGH的面积为63.3°∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形.[例5]如下图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．[解析](1)不是异面直线．理由：∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点．∴MN∥A1C1.又∵A1A綊D1D，而D1D綊C1C，∴A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC⊂平面CC1D1，∴B∈面CC1D1D，这与ABCD－A1B1C1D1是正方体相矛盾．∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．[点评](1)见中点，应充分构造利用中位线性质转化为平行关系．(2)判定两条直线异面的方法：①经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线，②用反证法．(3)异面直线的判定高考一般不会出大题，但在选择题中可能会涉及．已知A、B、C、D四点不共面，求证A、B、C、D中任意三点不共线．[证明]不妨假设A、B、C三点共线，那么直线ABC与其外一点D可以确定一个平面，即四点A、B、C、D共面，这与已知条件矛盾，因此，A、B、C、D中任何三点不能在同一条直线上．[例6]a、b、c是三条不同直线，若a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．都有可能[错解]同平行线的传递性a∥b，b∥c⇒a∥c一样，∵a与b异面，b与c异面，∴a与c必异面，故选A.[辨析]上述解法中作了不恰当的类比，相等(相同、大于、小于等)有传递性，但不等(不同)无传递性，平行具有传递性，但不平行(相交、异面)不具有传递性，同样如a与b相交，b与c相交，不能由此得出a与c相交，故考虑这样的问题时，思维要缜密细致．[正解]在上述条件下，直线a与c的位置关系有以下三种情形(如下图)：∴直线a与c的位置关系可能平行(如图(1))；可能相交(如图(2))；可能异面(如图(3))，故应选D.[点评]解决这类空间中点、线、面位置关系的题目时，考虑问题一定要全面．请思考：如果a、b、c是三条不同直线，a∥b，c与a异面，则c与b的位置关系如何？答案是可能异面，也可能相交．1．如图，在长方体的棱所在直线中，哪些是平行的？哪些是相交的？哪些是异面的？[解析](1)AB∥CD∥C′D′∥A′B′，BC∥B′C′∥D′A′∥AD，AA′∥BB′∥CC′∥DD′.(2)与AB相交的有：AA′，DD′，BB′，BC；与CD相交的有：BC，CC′，AD，DD′；与A′D′相交的有：AA′，DD′，D′C′，A′B′；与CC′相交的有：CD，BC，B′C′，C′D′等；(3)与AB异面的有：DD′，CC′，A′D′，B′C′；与BC异面的有：A′B′，C′D′，AA′，DD′；与CD异面的有：A′D′，B′C′，AA′，BB′等等．2．把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示，说明为什么这些折痕是互相平行的．[解析]长方形纸对折后，折痕两侧都是长方形，故折痕与其未被折起的一组对边平行，故折痕相互平行．3．如图，已知α∩β＝a，b⊂α，c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线．[分析]假设b与c共面，则b∥c或b与c相交，然后分别与a∥c，a∩b＝A结合产生矛盾．[证明]假设b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交．(1)若b∥c，∵a∥c，∴a∥b与a∩b＝A矛盾．(2)若b与c相交，设b∩c＝B，∵a∥c，∴B∉a，即A、B两点不重合，这样直线b上有两点A、B∈β，∴b⊂β，又b⊂α，∴b是α与β的公共直线，又α∩β＝a，∴b与a重合，这与b∩a＝A矛盾，∴b与c是异面直线．