气体动力学

第九章气体动力学基础一、微弱扰动在气流中的传播一、微弱扰动在气流中的传播11、音速和马赫数、音速和马赫数音速音速是微弱扰动在流场中的传播速度。微是微弱扰动在流场中的传播速度。微弱扰动通常是流场中某个位置上的压强产生了弱扰动通常是流场中某个位置上的压强产生了微小的变化。微小的变化。在不可压缩流动中，任何扰动总是立即传在不可压缩流动中，任何扰动总是立即传播到整个流场，但是在可压缩流里，不是在任播到整个流场，但是在可压缩流里，不是在任何情况下都能传播到整个流场，微弱扰动在流何情况下都能传播到整个流场，微弱扰动在流场中是按一定的速度传播的，这个速度就是音场中是按一定的速度传播的，这个速度就是音速。速。考虑一个直圆管，里面充满了压强为考虑一个直圆管，里面充满了压强为pp、、密度密度为为ρ、ρ、温度为温度为TT的静止气体。的静止气体。如果圆管内的活塞运动，将压缩如果圆管内的活塞运动，将压缩((或膨胀或膨胀))最相邻的气体层，致使那层气体的压强升高最相邻的气体层，致使那层气体的压强升高((或或降低降低))、温度升高、温度升高((或降低或降低))。这层气体又去压缩。这层气体又去压缩另外的气体层。这样将在管道内形成微弱扰动的另外的气体层。这样将在管道内形成微弱扰动的压缩波压缩波((或膨胀波或膨胀波))，波面的传播速度假设为，波面的传播速度假设为cc，，气体本身也将随活塞一起运动，其运动速度将和气体本身也将随活塞一起运动，其运动速度将和活塞的运动速度一致，是活塞的运动速度一致，是dvdv。。现在来推导音速公式。由于微弱扰动在管道现在来推导音速公式。由于微弱扰动在管道里的传播是一个非定常运动，因此假设研究者里的传播是一个非定常运动，因此假设研究者和波面一同运动。这样，波面是相对静止的，和波面一同运动。这样，波面是相对静止的，而波前气流速度为而波前气流速度为cc，，波后气流速度为波后气流速度为cc--dvdv，，同同时压强密度和温度分别由时压强密度和温度分别由pp、、ρρ和和TT升到升到p+p+dpdp、、ρρ+d+dρρ和和T+T+dTdT。。请注意，压缩（或膨胀）波的波面速度是和活塞，因而是气体的运动速度不一致的！在波面附近取一个微元体，有连续方程：在波面附近取一个微元体，有连续方程：()()AdvcdcA−+=ρρρ11动量方程：()[]()[]AdpppcdvccA+−=−−111ρ把dv消去，得到⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=121ρρρdddpc因为我们讨论的是微弱扰动，故括号里的项近似为1。因此得到音速为：ρddpc=2对于微弱扰动，其热力学过程接近于绝热对于微弱扰动，其热力学过程接近于绝热的可逆过程，即等熵过程。对完全气体，的可逆过程，即等熵过程。对完全气体，()RTpConstddddpcγργρρργ==×==.2(1)音速的的大小是和流体介质有关：可压缩性大的介质，微弱扰动传播的速度慢、音速就小。在20度的空气中，音速为343(m/s)；在20度的水里，音速为1478(m/s)。(2)音速是状态参数的函数。在相同介质中，不同点的音速也不同。提到音速，总是指当地音速。(3)同一气体中，音速随气体温度的升高而升高。马赫数的定义在音速定义后，可以定义马赫数：cVM=(1)马赫数是判断气体压缩性的标准,它是个无量纲量,也是气体动力学的一个重要参数.(2)按马赫数，可以将气流分成亚音速、音速和超音速流动。(3)因为，所以马赫数的物理意义是流体质点具有的动能与内能之比。(4)当M数越小，流体相对密度变化越小。通常认为，当M0.3时，流体可当不可压流。()TcVkkcVMv222211⋅−==◎Va，如图，扰动波前缘始终赶在扰动源的前面。微弱扰动波可达到空间任何一点。22、微弱扰动在气流中的传播规律、微弱扰动在气流中的传播规律(1)扰动源在静止气体中的传播◎V=0，如图，微弱扰动波的前缘是以O为球心的球面。◎V=a，如图，扰动波和扰动源同时达到空间某一位置。扰动波只能在绕动源下游的半个空间内传播。◎Va，如图，扰动源永远赶在扰动波前面。扰动波被限制在以扰动源为锥顶的圆锥内。在平面流动中就被限制在夹角为θ的两条马赫线内。θ又称为马赫角。(2)亚音速和超音速气流的区别亚音速和超音速气流的区别微弱扰动的这种性质，使得亚音速气流与微弱扰动的这种性质，使得亚音速气流与超音速气流有本质的差别。超音速气流有本质的差别。在亚音速流动中，因为扰动可以四面八方在亚音速流动中，因为扰动可以四面八方地传播，因此气流在扰动的上方就能感受到扰地传播，因此气流在扰动的上方就能感受到扰动，从而进行参数调整。动，从而进行参数调整。而在超音速气流中，因为扰动限制于马赫而在超音速气流中，因为扰动限制于马赫锥内，所以上游的气流不能感知下游的物体产锥内，所以上游的气流不能感知下游的物体产生的扰动，从而不能及时调整气流状态，只有生的扰动，从而不能及时调整气流状态，只有当流动到达扰动源处，才能调整状态。当流动到达扰动源处，才能调整状态。二、理想气体流动的基本方程二、理想气体流动的基本方程可压缩流所遵守的流动方程仍然是第三章所可压缩流所遵守的流动方程仍然是第三章所讨论的方程。工程上，常常对一维流动的情况讨论的方程。工程上，常常对一维流动的情况特别感兴趣。特别感兴趣。首先可以假设流动是定常理想的，并对管道首先可以假设流动是定常理想的，并对管道流动按截面平均参数考虑，问题变成是一维的。流动按截面平均参数考虑，问题变成是一维的。其次，气体的问题，质量力由于是跟密度成其次，气体的问题，质量力由于是跟密度成正比的，而密度通常不大，所以气体动力学的正比的，而密度通常不大，所以气体动力学的问题通常都是忽略质量力。问题通常都是忽略质量力。第三，由于气体动力学处理的是高速流动，第三，由于气体动力学处理的是高速流动，因此常常作绝热假设，这就是说，气体速度太因此常常作绝热假设，这就是说，气体速度太快，以至于来不及跟外界有热交换。快，以至于来不及跟外界有热交换。先来回顾一下流体力学的基本方程。先来回顾一下流体力学的基本方程。()0=⋅+∂∂∫∫AVAdvdVtˆˆρρ()()∑∫∫∫∫∫∂∂+⋅=VAdVvtAdvvFˆˆˆˆˆρρ()∫⋅⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++∂∂AAdvgzvegzvetˆˆ2222ρρ[]∫∫∫∫⋅⋅+⋅+⋅∇+=VAAVRAdvdVvfAdTkdVqˆˆˆˆˆτρ在前面的假设下，一维气体流动下，连续在前面的假设下，一维气体流动下，连续方程、动量方程和能量方程分别是：方程、动量方程和能量方程分别是：222111AVAVρρ=qVhVh =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛[phone]()()FAVpAVp=+−[phone]ρρ微分形式的方程是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=++000vdvdhvdvdpAdAvdvdρρρ这样共是四个变量但只有三个方程，所以这样共是四个变量但只有三个方程，所以需要补充一个状态方程或者过程方程（常是作需要补充一个状态方程或者过程方程（常是作等熵假设）。等熵假设）。◎高维情况下的气体动力学方程——略。◎熵方程()TqSvtS ˆ≥∇⋅+∂∂三、参考状态三、参考状态气体的参考状态主要有滞止过程、极限状气体的参考状态主要有滞止过程、极限状态和临界状态。态和临界状态。11、、滞止状态滞止状态在气体流动中，为了描述流场中某点的状在气体流动中，为了描述流场中某点的状态，常常给出该点气流的压强、密度、温度等态，常常给出该点气流的压强、密度、温度等热力学参数。这些参数在气体动力学中被称为热力学参数。这些参数在气体动力学中被称为静参数。如果假想静参数。如果假想按照等熵过程把气按照等熵过程把气流滞止到零，这个流滞止到零，这个时候的气体状态称时候的气体状态称为滞止状态，所对为滞止状态，所对应的热力学参数称应的热力学参数称为滞止参数或者总为滞止参数或者总参数。参数。滞止状态下，气体的速度为零，故由一维滞止状态下，气体的速度为零，故由一维气体动力学方程，得到气体动力学方程，得到ChVh==+∗22另外，上式很容易写成：pcVTT22+=∗此式表明，总温等于静温加上动能引起的温度变化，因此，后一项常称为动温。从一维流的能量方程可知，当流动绝能时，总焓是不变的，同样总温也是不变的。此式表明，气流滞止时的焓是最大的。流体滞止时的焓是最大的。流体质点所能进行转化的焓包括了静焓和动能两质点所能进行转化的焓包括了静焓和动能两部分。因此气流的总焓就是流体质点所具有部分。因此气流的总焓就是流体质点所具有的总能量。的总能量。上面的式子进一步可改写为上面的式子进一步可改写为2*211MkTT−+=因为假设的滞止过程是绝能等熵的，所以由等熵关系可得：12*211−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=kkMkpp112*211−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=kMkρρ从中可见，气流的总静参数比只取决于当地马赫数。说明说明11、在气体动力学中，这组总静参数比具有非常、在气体动力学中，这组总静参数比具有非常重要的作用，几乎可以说与不可压缩流中的伯重要的作用，几乎可以说与不可压缩流中的伯努利方程的作用等同。这将在下面看到。努利方程的作用等同。这将在下面看到。22、总温总压的物理意义是：流场中一点处的总、总温总压的物理意义是：流场中一点处的总温是该点气流所具有的总能量的度量；而总压，温是该点气流所具有的总能量的度量；而总压，则是总机械能的度量。则是总机械能的度量。33、、利用总静压强比公式，可以求得不考虑气利用总静压强比公式，可以求得不考虑气体的压缩性所带来的误差。这个推导也表明了，体的压缩性所带来的误差。这个推导也表明了，在气体动力学中，总压、静压和动压的关系。在气体动力学中，总压、静压和动压的关系。[[例例1]1]如图所示贮气箱中空气总压如图所示贮气箱中空气总压=2.934=2.934××101055PaPa，，总温总温=288=288KK，，通过喷管进入压强通过喷管进入压强ppaa==9.81==9.81××101044PaPa的大气中，若喷管出口截面压强的大气中，若喷管出口截面压强pp22和大气压强相等，和大气压强相等，求出口截面上气流速度。求出口截面上气流速度。((假定喷管中的流动绝能假定喷管中的流动绝能等熵等熵))*1p*1T[解]因为喷管内的流动是绝能等熵的，所以有*2*1pp=*2*1TT=根据总静参数比公式：36.111212*2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−kkppkM由M数及总温，可求得出口面上的静温，进而按马赫数定义求得速度。22、极限状态、极限状态这是跟滞止状态相反的参考状态。这是跟滞止状态相反的参考状态。如果假设气流按等熵过程不断加速，气体如果假设气流按等熵过程不断加速，气体的静焓将逐渐减小。当气体的温度降为绝对零的静焓将逐渐减小。当气体的温度降为绝对零度时，气流的速度将达到最大值。这个状态称度时，气流的速度将达到最大值。这个状态称为极限状态。此时气体的温度、压强和密度均为极限状态。此时气体的温度、压强和密度均为零，但温度具有最大值，此速度称为极限速为零，但温度具有最大值，此速度称为极限速度。极限速度是一点气流膨胀到绝对真空所能度。极限速度是一点气流膨胀到绝对真空所能达到的最大速度。达到的最大速度。从一维流的能量方程，从一维流的能量方程，CkkRTVkkRT=−=+−121*2得到最大速度为：得到最大速度为：*max12RTkV−=3、临界状态在v-c状态平面上，可以看到，当气体速度滞止为零时，当地音速达到滞止音速；当气流速度被加速到极限速度时，当地音速达到零。因此在气流速度由小变大的过程中，必然会出现气流速度恰好等于当地音速的状态，即Ma=1的状态，这就是临界状态。临界状态也是一个假想状态。只有在音速点上，才能达到临界状态。临界状态的特点是临界状态的特点是VVcrcr==cccrcr，，因此临界音速为：因此临界音速为：*12RTkkccr+=对于其他的临界参数，按照总静参数比关系，可得：21*+=kTTcr1*21−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=kkcrkpp11