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2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁AB=()A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}2.若z=4+3i,则𝑧|𝑧|=()A.1B.-1C.45+35ID.45-35i3.已知向量𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(12,√32),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(√32,12),则∠ABC=()A.30°B.45°C.60°D.120°4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20℃的月份有5个5.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B.18C.115D.1306.若tanθ=-13,则cos2θ=()A.-45B.-15C.15D.457.已知a=243,b=323,c=2513,则()A.bacB.abcC.bcaD.cab8.执行下面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=()A.3B.4C.5D.69.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则sinA=()A.310B.√1010C.√55D.3√101010.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+36√5B.54+18√5C.90D.8111.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4πB.9π2C.6πD.32π312.已知O为坐标原点,F是椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.13B.12C.23D.34第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设x,y满足约束条件{2𝑥-𝑦+1≥0,𝑥-2𝑦-1≤0,𝑥≤1,则z=2x+3y-5的最小值为.14.函数y=sinx-√3cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到.15.已知直线l:x-√3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|=.16.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,𝑎𝑛2-(2an+1-1)an-2an+1=0.(Ⅰ)求a2,a3;(Ⅱ)求{an}的通项公式.18.(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据:∑𝑖=17yi=9.32,∑𝑖=17tiyi=40.17,√∑𝑖=17(𝑦𝑖-𝑦)2=0.55,√7≈2.646.参考公式:相关系数r=∑𝑖=1𝑛(𝑡𝑖-𝑡)(𝑦𝑖-𝑦)√∑𝑖=1𝑛(𝑡𝑖-𝑡)2∑𝑖=1𝑛(𝑦𝑖-𝑦)2,回归方程𝑦^=𝑎^+𝑏^t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:𝑏^=∑𝑖=1𝑛(𝑡𝑖-𝑡)(𝑦𝑖-𝑦)∑𝑖=1𝑛(𝑡𝑖-𝑡)2,𝑎^=𝑦-𝑏^𝑡.19.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(Ⅰ)证明MN∥平面PAB;(Ⅱ)求四面体N-BCM的体积.20.(本小题满分12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(Ⅰ)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=lnx-x+1.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)证明当x∈(1,+∞)时,1𝑥-1ln𝑥x;(Ⅲ)设c1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)xcx.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,☉O中𝐴𝐵⏜的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.(Ⅰ)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;(Ⅱ)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为{𝑥=√3cos𝛼,𝑦=sin𝛼(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(𝜃+π4)=2√2.(Ⅰ)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(Ⅱ)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(Ⅱ)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)一、选择题1.C由补集定义知∁AB={0,2,6,10},故选C.2.D由z=4+3i得|z|=√32+42=5,𝑧=4-3i,则𝑧|𝑧|=45-35i,故选D.3.Acos∠ABC=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗|·|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗|=√32,所以∠ABC=30°,故选A.4.D由雷达图易知A、C正确.七月份平均最高气温超过20℃,平均最低气温约为13℃;一月份平均最高气温约为6℃,平均最低气温约为2℃,所以七月的平均温差比一月平均温差大,故B正确.由题图知平均最高气温超过20℃的月份为六、七、八月,有3个.故选D.疑难突破本题需认真审题,采用估算的方法来求解.5.C小敏输入密码的所有可能情况如下:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种.而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为115.6.D解法一:cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-sin2θcos2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=45.故选D.解法二:由tanθ=-13,可得sinθ=±1√10,因而cos2θ=1-2sin2θ=45.7.Aa=243=423,c=2513=523,而函数y=𝑥23在(0,+∞)上单调递增,所以323423523,即bac,故选A.方法总结比较大小的问题往往利用函数的性质及图象来解决,其中单调性是主线.8.Ba=2,b=4,a=6,s=6,n=1;a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2;a=2,b=4,a=6,s=16,n=3;a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4.此时2016,则输出n的值为4,故选B.9.D解法一:过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD=𝑎3,∵B=π4,∴AD=BD,∠BAD=π4,∴BD=𝑎3,DC=23a,tan∠DAC=𝐷𝐶𝐴𝐷=2.∴tan∠BAC=tan(π4+∠DAC)=tanπ4+tan∠𝐷𝐴𝐶1-tanπ4·tan∠𝐷𝐴𝐶=1+21-2=-3.cos2∠BAC=11+tan2∠BAC=110,sin∠BAC=√1-cos2∠BAC=3√1010.故选D.解法二:过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD=𝑎3,∵B=π4,∴AD=BD,∴BD=AD=𝑎3,DC=23a,∴AC=√(𝑎3)2+(23a)2=√53a,在△ABC中,由正弦定理得𝑎sin∠𝐵𝐴𝐶=√53asin45°,∴sin∠BAC=3√1010.故选D.10.B由三视图可知,该几何体是底面为正方形(边长为3),高为6,侧棱长为3√5的斜四棱柱.其表面积S=2×32+2×3×3√5+2×3×6=54+18√5.故选B.易错警示学生易因空间想象能力较差而误认为侧棱长为6,或漏算了两底面的面积而致错.11.B易得AC=10.设底面△ABC的内切圆的半径为r,则12×6×8=12×(6+8+10)·r,所以r=2,因为2r=43,所以最大球的直径2R=3,即R=32.此时球的体积V=43πR3=92π.故选B.12.A解法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k=𝑦0𝑎-𝑐,从而直线AM的方程为y=𝑦0𝑎-𝑐(x+a),令x=0,得点E的纵坐标yE=𝑎𝑦0𝑎-𝑐.同理,OE的中点N的纵坐标yN=𝑎𝑦0𝑎+𝑐.因为2yN=yE,所以2𝑎+𝑐=1𝑎-𝑐,即2a-2c=a+c,所以e=𝑐𝑎=13.故选A.解法二:如图,设OE的中点为N,由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a,∵PF∥y轴,∴|𝑀𝐹||𝑂𝐸|=|𝐴𝐹||𝐴𝑂|=𝑎-𝑐𝑎,|𝑀𝐹||𝑂𝑁|=|𝐵𝐹||𝑂𝐵|=𝑎+𝑐𝑎,又∵|𝑀𝐹||𝑂𝐸|=|𝑀𝐹|2|𝑂𝑁|,即𝑎-𝑐𝑎=𝑎+𝑐2𝑎,∴a=3c,故e=𝑐𝑎=13.方法总结利用点M的坐标为参变量,通过中点坐标公式建立等式,再利用方程的思想求解.二、填空题13.答案-10解析可行域如图所示(包括边界),直线2x-y+1=0与x-2y-1=0相交于点(-1,-1),当目标函数线过(-1,-1)时,z取最小值,zmin=-10.14.答案π3解析函数y=sinx-√3cosx=2sin(𝑥-π3)的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移π3个单位长度得到.方法总结本题首先要将函数化为y=Asin(ωx+φ)(其中A0,ω0)的形式再求解,另外要注意图象平移的方向.15.答案4解析圆心(0,0)到直线x-√3y+6=0的距离d=6√1+3=3,|AB|=2√12-32=2√3,过C作CE⊥BD于E,因为直线l的倾斜角为30°,所以|CD|=|𝐶𝐸|cos30°=|𝐴𝐵|cos30°=2√3√32=4.解后反思本题涉及直线和圆的位置关系,要充分利用圆的性质及数形结合的思想方法求解.16.答案y=2x解析当x0时,-x0,f(-x)=ex-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=ex-1+x(x0),点(1,2)在曲线y=f(x)上,易知f'(1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f'(1)·(x-1),即