极坐标与参数方程基本知识点

极坐标与参数方程基本知识点一、极坐标知识点1．伸缩变换：设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换).0(,yy0),(x,x:的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离||OM叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对),(叫做点M的极坐标，记为),(M.极坐标),(与)Z)(2,(kk表示同一个点。极点O的坐标为)R)(,0(.4.若0,则0,规定点),(与点),(关于极点对称，即),(与),(表示同一点。如果规定20,0，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(表示；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。5．极坐标与直角坐标的互化：(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式6.曲线的极坐标方程：1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：00sin()sin()几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点（2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴（3）直线过(,)2Mb且平行于极轴方程：（1）)R(或写成及（2）acos（3）ρsinθ=b2．圆的极坐标方程：若圆心为00(,)M，半径为r的圆方程为：2220002cos()0r几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点，r为半径（2）当圆心位于)0,(aC(a0),a为半径（3）当圆心位于)2,(aC)0(a，a为半径方程：(1)r(2)cos2a(3)sin2a7.在极坐标系中，)0(表示以极点为起点的一条射线；)R(表示过极点的一条直线.二、参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C上的点(,)Pxy满足()()xftyft，该方程叫曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数),(),(tgytfx并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数yx,的变数t叫做参变数，简称参数。）相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。2．曲线的参数方程（1）圆222)()(rbyax的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数rbyrax.（2）椭圆12222byax)0(ba的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数byax.（3）抛物线pxy22的参数方程可表示为)(.2,22为参数tptyptx.（4）经过点),(ooOyxM，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为.sin,cosootyytxx（t为参数）.3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使yx,的取值范围保持一致.规律方法指导：1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消法；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性，注意方程中的参数的变化范围。