工科数分20112012(下)期中完整答案

北京航空航天大学2011－2012学年第二学期期中《工科数学分析（2）》班号学号姓名成绩题号一二三四五六七总分成绩阅卷人校对人2012年04月25日1一、求解下面问题（每小题8分，满分48分）1)已知22),,(zxyzyxf及点)1,1,2(A、)1,1,3(B，求函数),,(zyxf在点A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。解：由条件得zzfxyfyxf2,2,2-------------1分}cos,cos,{cos}32,32,31{}2,2,1{0ABAB--------------2分32cos,32cos,31cos从而)1,1,2(coscoscosAzfyfxflf=310--------------2分点A的梯度方向是}2,4,2{}2,2,2{AAzxyfgradl-------------1分所以方向导数的最大值是6224242222lf--------------2分2)将函数0,0,(),,0xfxxx在],[上展开成Fourier级数.解：将函数延拓成的(,)上周期为2的函数，延拓后函数的不连续点为,1,2,nn，Fourier系数为0012()2afxdxxdx-------------2分00221111()coscoscos[1(1)]nnafxnxdxxnxdxnxnn22,21,(21)1,2,0,2.nkkknk--------------2分00011111()sinsincoscos(1),1,2,nnbfxnxdxxnxdxxnxxnxdxnnnn----2分由收敛定理，()fx的Fourier级数1211(),(,)2(1)cos(21)sin4(21),2nknfxxkxnxknx-------------2分23)求函数3311(,)sinsinfxyxyyx在点(0,0)处的重极限和两个累次极限.解：333311(,)sinsinfxyxyxyyx，因此重极限为0.-------------4分因为33011limsinsinxxyyx与33011limsinsinyxyyx均不存在，所以累次极限均不存在.-------------4分4)求曲线22221,1112221,xyxz在(,,)点处的切线与法平面方程.解：记2222(,,)1,(,,)1FxyzxyGxyzxz-------------1分曲线在点0111222P(,,)的切向量为00200222,,,,022220yzxyzxyzxyzxPPFFFFFFyxxyGGGGGGzzxx0(4,4,4)(2,2,2)Pyzxzxy-------------3分所以曲线在0111222P(,,)的切线方程为：111222111xyz-------------2分曲线在0111222P(,,)处的法平面方程为：111()()0222xyz，10.2xyz即-------------2分另解：将,yz看做x的隐函数，则在0111222P(,,)点处的切向量为0dd1,,ddPyzxx，其中dd,ddyzxx利用隐函数组求导的方法计算即可（方程组两边关于x求导）---------------------（切向量4分，方程各2分，共8分）.5)证明方程11(,)0Fxzyyzx所确定的隐函数(,)zzxy满足方程.zzxyzxyxy3解：方程两边分别关于x,y求偏导，得12211(1)()0zzzFFyxxxx------------2分12211()(1)0zzzFFyyyxy-------------2分可得1222121212,zFzFFFzzyxFFFFxyyxyx，-------------2分带入验证满足方程,zzxyzxyxy得证.-------------2分6)设3(,),(,)yzxfxyfuvx有连续的二阶偏导,求2,,.zzzxyxy解：231223()zyxfxyffxx-------------2分3121()zxxffyx-------------2分31223121111222122222341211221()[()]1113()[()()]42zzzxxffxyyxxyxxyyxxffxfxyfffyffxxxxxxfxfxyfyf-------------4分二、(本题满分10分)设)(xyy满足方程xeyyy223，且其图形在点)1,0(与曲线12xxy相切，求函数)(xy.解：由特征方程2,1023212rrrr,------------2分对应齐次方程的通解xxeCeCY221-------------2分设特解为xAxey*，其中A为待定常数，代入方程，得xxeyA22*从而得通解xxxxeeCeCy2221,------------（求出非齐方程特解）3分4由条件知)(xyy满足1)0(,1)0(yy代入初始条件得0,121CC最后得xexxy)21()(.-------------（带入初值条件求出结果）3分三、(本题满分10分)讨论函数3222422,0()0,0xyxyxyxyfxxy在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性.解：1)由于32412xyxyxyyxy，所以(,)(0,0)lim(,)0(0,0)xyfxyf----------2分从而函数(,)(0,0)fxy在点连续.2)由偏导数的定义0000(,0)(0,0)0,0limlim1,(0,)(0,0)0,0limlim1.xxxyyyfxfxfxxfyfyfyy即函数(,)(0,0)fxy在点偏导数存在，且值为1.------------4分（每个偏导2分）3)记(,)zfxy，则(,)(0,0)(0,0)(0,0)xyzdzfxyffxfy324324221xyxyxyxyzdzxyxyxy而32224220000limlim()xxyyzdzxyxyxyxy不存在，因此220limzdzxy不存在，所以函数),(yxf在)0,0(处不可微.------------4分四、(本题满分10分)求幂级数21(1)nnnxnn的收敛域，并求级数在收敛区间内的和函数.解：设11(1)nnann,收敛半径1lim1nnnaRa,------------2分5又当1x时，21(1)nnnn收敛，x=-1时，21(1)nnn收敛，------------1分所以幂级数的收敛域为[-1,1].------------1分设2()1,(1)nnnxSxnn则12()1,1nnnxSxn------------1分2201()1(1),11.1nnnnnnSxxxxx------------2分所以01()ln(1),11.1xSxdtxxt------------1分0()ln(1)(1)ln(1),11.xSxtdtxxxx------------2分五、(本题满分10分)若10,0,nxy及，证明不等式.22nnnxyxy(提示:考虑函数(,)2nnxyfxy在条件xya下的最小值)解：考虑函数(,)2nnxyfxy在条件(0,0,0)xyaaxy下的极值问题，构造Lagrange函数1(,)()()2nnLxyxyxya------------2分解方程组-1-1(,)02(,)02(,)-0nxnynLxyxnLxyyLxyxya，------------2分得2axy.------------1分将(,)22aa与边界点(0,a),(a,0)点的函数值做比较(0,)(,0)(,)(1)2222nnaaaafafafn------------2分6可知函数(,)fxy当xya时的最小值为2na.------------1分当x=y=0时，22nnnxyxy显然成立；当0,0xy且x,y不同时为零时，令,0xyaa，由上面的讨论知222nnnnxyaxy得证-------------2分六、(本题满分12分)证明:（1）函数项级数1nxnnxe在(0,+)上不一致收敛;(2)函数项级数1nxnnxe在(0,+)上连续,且可逐项求导.证明：（1）设()nxnuxnxe，因为101sup|()||()|nnnxuxuen不趋向于零，-------------2分从而{()}nux上不一致收敛于0，所以1()nnux在(0,)上不一致收敛；-------------2分（2）对任何),0(0Ix，存在0b，使得00xb当[,]xb时，|()|nxnnuxnxebne，22|()|||nxnxnnnuxnenxenebne由此可见，1()nnux，1()nnux在[,]b上一致收敛，------------4分又因为1|()|lim1|()|xnnnuxeux，（或由2231610()1()3!nxnuxnxenxxnnx，）知1()nnux在(0,)上收敛.从而在[,]b上收敛.------------2分又()nux连续，于是1()()nnfxux在[,]b上连续，且逐项可微，即11[()](),,nnnnuxuxxb，------------1分7由于0x是I上的任意点，所以函数f在),0(I上连续且可逐项求导，即11()[()]()nnnnfxuxux。------------1分七、附加题（本题满分10分）已知函数(,)fxy在00(,)xy的一个去心邻域中有定义，如果（1）对固定的0xx，0lim(,)()yyfxygx存在;（2）0lim(,)()xxfxyhy关于y在00yy上一致，则00lim()lim()xxyygxhy，即0000limlim(,)limlim(,).xxyyyyxxfxyfxy证1：由Henie定理，只需证00,1,2,,,,nnnxnxxxx0lim()lim().nnyygxhy定义()(,).nnfyfxy由条件（2）知函数列()nfy在去心邻域00()Uy：00yy上一致收敛，且lim()lim(,)().nnnnfyfxyhy-----