工科物理教程练习12波的传播规律多普勒效应5

1练习12波的传播规律波的形成机理12.1波动曲线12.2图示为t=0时的波动曲线,u=2cm/s,试指出:(1)此曲线的物理意义。(2)波源一定要在点0吗?波形的实线与虚线部分各表示什么?(3)点0的初相位及波峰、波谷对应的点C′,G′点的初相位各为多少?(4)A,λ,T,ω各为多少?(5)用箭头指出0,B,C,D,E,F,G,H各点的运动趋势,并说明你画箭头时是怎么考虑的。(6)画出t=±2s时的波动曲线。(7)若u的方向相反,即波沿x轴负方向传播,再回答(3),(5),(6)。题12.2图？？[分析与解答]（1）波动曲线表示的是波在传播过程中某时刻t介质元离开平衡位置的位移情况，相当于在该时刻所拍摄的一幅照片。（2）波源不一定要在O点。根据惠更斯原理，波线上介质中任一点均可看作是一个子波波源。（3）O点的振动状态是过平衡位置，向Y轴负方向运动，其初项φ0=π/2，波峰C′点在正的最大位移处，其初项位φc=0，波谷G′点在负的最大位移处，其初项位Φg=±π。（4）振幅A=5cm,波长λ=4cm；周期T=1/v=λ/u=4/2=2s圆频率ω=2π/T=πrad/s（5）判断某一点运动趋势的方法是：它前一点现时的位置，就是它下一时刻的位置。故O，B，H，I向下运动；D、E、F向上运动；C，G瞬间静止，随后C向下，G向上运动。（6）由于周期T=2s，因此t=2s时的波动曲线应为t=0时的波形曲线向右传播一个波长后的形状，即曲线右移λ；同理，t=2s时的波形曲线应为t=0时的波动向左传播一个波长后的形状，即曲线左移λ。（7）在（3）中φ0变为-π/2，φc，φG不变。在（5）中各质元的运动方向：O，B，H，I向上运动，D，E，F向下，C仍向下，G仍向上；在（6）中，t=2s时，波形左移，t=-2s时，波形右移。212.3求解:(1)已知x=0处质元的振动曲线如P156图(a)所示,若它以u=20cm/s的速度在介质中传播,试画出t=3s时的波动曲线。(2)已知t=0时的波动曲线如图(题12.2)所示。试画出0,E,G′各点的振动曲线。(3)已知波函数y=2cos(2πt-πx)。试画出x=0和x=λ/4两点的振动曲线。题12.3图？？[分析与解答]振动曲线是振子位移y与时间t的关系曲线，即y-t曲线。波动曲线是某一时刻t，波线上介质中各质点元位移y随x的分布曲线。（1）从振动曲线可知：振幅A=5cm，周期T=2s,t=0时,0y=0,且0v0,得O点初相位0=-π/2，圆频率ω=2π/T=πrad/s振源（x=0）的振动方程为oy=5cos(πt-π/2)cm由于该波以u=20cm/s沿x轴正方向传播，波长λ=ut=40cm,则波动方程为y=5cos(πt-πx/20-π/2)cm将t=3代入波动方程得y=5cos(5π/2-πx/20)cm,波形曲线如图（b）所示。（2）由题12.2图所示的波形曲线可知，O点过平衡位置，向y轴负方向运动，振动方程为oy=5cos(πt+π/2)cmE点过平衡位置，向y正方向运动，振动方程为Ey=5cos(πt-π/2)cmG点在负最大位移处，振动方程为Gy=5cos(πt-π)cm各点的振动曲线如图（C）所示。（2）将y=2cos(2πt-πx)m改写为y=2cos[2π(t-x/2）]并与波函数的标准形式y=Acos[ω（t–x/u）+0]对比，得A=2m;0=0;ω=2πrad/s;u=2m/s;λ=2πu/ω=2m当x=0时，该点的振动方程为oy=2cos2πtmX=λ/4处的振动方程为4y=2cos[2π（t-λ/8）]=2cos(2πt-π/2)则该两点的振动曲线如图（d），（e）所示。3波动方程12.4一平面谐波的表达式为y=Acos[ω（t-x/u）+φ0],试说明:(1)式中x/u表示什么?(2)0表示什么?(3)ωx/u表示什么?(4)ty表示什么?它等于波速u吗?题12.4（6）(5)若把方程写成y=Acos[2π（t/T-x/λ）],可否?(6)波动方程中的(-x/u),其负号表示什么?能否是正号?今已知一平面谐波沿x轴负方向传播,如图所示,已知M点的振动规律为y=Acos(ωt+0)试写出点N的运动方程。[分析与解答](1)x/u表示波从坐标原点（x=0）传到任意一点（x=x）所需的时间。(2)0表示坐标原点（x=0）处质点振动的初相位。（3）ωx/u表示波线上任一点处质元比原点处质元落后的相位，或相距x距离的两元间的相位差。（4）ty表示波动某一质元的振动速度，它不等于波速u，一般来说ty是时间的函数并且与质元位置x有关，而波速u只与介质有关。（5）该式只是在初相位0=0时的特殊情况下成立，一般应写为y=Acos[2π(t/T–x/λ)+φ0](6)(-x/u)中的负号表示相位落后，而(+x/u)中的正号则表示相位超前。已知：M点的振动规律为My=Acos(ωt+0)且该波沿x轴负方向传播，可知图中N点的相位较M点超前，则N点的运动方程（即波动方程）应为y=Acos{ω[t+(x-1)/u]+0}12.5已知波动方程y=5cos[2π(t/12-r/30)]cm试求：ω，T，v,u,λ,A和波数k各为多少？并写出r=15cm处质点的运动方程。[分析与解答]与波动方程一般形式y=Acos[2π(t/T-x/λ)+0]相比较可得：周期T=12s；圆频率ω=2π/T=（π/6）rad/s；波长λ=30cm；振幅A=5cm波速u=λ/T=30/12=2.5cm/s；波数k=2π/λ=2π/30=π/154振动速度v=ty=（-5π/6）sin(π.t/6-π.r/15)cm/sr=15cm处质元的方程为：15y=5cos[π.t/6-π]cm12.6已知平面谐波A=5cm,ν=100Hz,波速u=400m/s,沿x正方向传播,以位于坐标原点O的质元过平衡位置向正方向运动时为时间起点,试求:(1)点O的运动方程;(2)波动方程;(3)t=1s时,距原点100cm处质元的相位[分析与解答]（1）要建立O点的运动方程，关键在于找三个特征量。由题设条件可知，圆频率ω=2πv=200πrad/s.振幅A=5cm;t=0时，坐标原点O处质点过平衡位置，且向正方向运动，则O点的初相位0=-π/2（或3π/2）,于是O点的运动方程为0y=5cos(200πt-π/2)cm(2)波沿x轴的正方向传播。波线上任一点质元的相位较O点质元落后ωx/u,则波动方程为y=Acos[ω(t-x/u)+0]=5cos[200π(t-x/400)-π/2]=5cos(200π.t-π.x/2-π/2)cm(3)将t=1s,x=100cm=1m代入波动方程，得y=5cos(200π-π/2-π/2)=5cos(199π)cmt=1s时，距原点100cm处质点的相位为199π（若取230，则该点相位为201π）12.7一列平面谐波沿x轴正向传播,振幅A=0.1m,频率ν=10Hz,当t=1.0s时,x=0.1m处的质点a的状态为ya=0,va0;x=0.2m处的质点b的状态为yb=0.05m,vb0。试求这列波的波动方程。[分析与解答]由波动方程可知，这列波的方程为y=Acos[2πft-2πx/λ+0]=0.1cos[20πt-2πx/λ+0]①在t=1.0s时，对于a点（x=0.1m）有ya=0.1cos[20π-0.2π/λ+0]=0.1cos(0-0.2π/λ)=0则0-0.2π/λ=π/2,由于va0,应取π/2,则0-0.2π/λ=π/2②5同理，对于b点有0-0.4π/λ=-π/3③由式②，③可得λ=0.24m,0=4π/3代入式①，则波动方程为y=0.1cos[20πt-2πx/0.24+4π/3]12.8一列平面简谐波,频率ν=500Hz,波速u=350m/s。试求:(1)相位差=π/3的两点间相距多远?(2)在某点,时间间隔Δt=10-3s的两个振动状态的相位差为多少?[分析与解答](1)由相位差和波程差的关系=（2π/λ）（x2-x1）则x2-x1=λ/2π=u2=（π/3）/2π×（350/500）=0.12m(2)按题设条件可知，周期为T=1/v=1/500=2×10-3s则某点经历st310=T/2的两个位移的相位差为=πrad=1800或由两个方程求解：y1=Acos(1t+0)y2=Acos(2t+0)=(2t+0)-(1t+0)=2t-1t=2πvΔt=πrad关于波的能量特征12.9选择题:(1)一列机械横波在t时刻的波形曲线如图所示,则该时刻能量为最大值的介质质元的位置是:()A.o′,b,d,f;B.a,c,e,g;C.o′,d;D.b,f。题12.9（1）(2)图示为一平面简谐波在t时刻的波形曲线,若此时A点处介质质元的振动动能在增大,则可知:()A.C点处质元的弹性势能在增大;B.A点处质元的弹性势能在减小;题12.9（2）C.B点处质元的振动动能在增大;D.波沿x轴正方向传播。[分析与解答]（1）（B）6（2）A点的振动动能在增大，表明A点正向平衡位置运动，表明沿-X方向传播，因此，C点也向平衡位置运动，弹性势能和动能均增大，故答案（A）是正确的。12.10频率为ν=500Hz,波速为u=340m/s的声波(平面简谐波),在空气(ρ=1.3kg/m3)中传播,到达人耳时,振幅约为A=1.0×10-6m。试求声波在人耳中的平均能量密度和声强。[分析与解答]声波在人耳中的平均能量密度为w（1/2）ρA2ω2=2π2ρA2ν2=6.42π×10-6J/m2其能量密度即为声强，即I=uw=31018.2w/m2波的干涉12.11如图所示,两相干波源S1,S2,频率均为100Hz,振幅均为5cm,波速均为u=10m/s,振动方向均垂直纸面。试求下列情况下,S1,S2连线的中垂线上点P的运动方程,并说明点P是加强还是减弱。(1)S1,S2的相位差为0;(2)S1,S2的相位差为π/2;(3)S1,S2的相位差为π。[分析与解答]设由S1所发的波动方程为y1=5cos[200π(t-r1/10)]题12.11图S2所发出的波动方程为y2=5cos[200π(t-r2/10)+2]其中r1和r2分别为P点到S1和S2的距离，故两列波在P点的相位差为=2-1-（2π/λ）（r2-r1）由题意可知r2=r1=18m,且1=0所以=2（1）当=0时，两波叠加后干涉加强，合振幅A=A1+A2=10cm合振幅方程为y=10cos200π(t-r1/u)=10cos[200π(t-1.8)]cm(2)=π/2时，合振动既不加强，也不减弱，此时1=0，2=π/2合振幅A=2255=7.07cm初相位0=arctan{(1Asin1+A2sin2)/（1Acos1+A2cos2)}=π/4合振动方程为y=7.07cos[200π(t-1.8)+π/4]7(3)当=π时，合振动为减弱，此时A=|A2-A1|=0振动方程y=012.12介质中两相干波源S1,S2,分别位于O和N,如图所示。它们的振幅相等,频率ν1=ν2=100Hz,相位差为π。若ON相距为30m,波的传播速度为u=400m/s,试求:(1)ON连线上因干涉而静止的各点位置;(2)ON连线外的各点能否静止?[分析与解答]题12.12图由题设条件O为波峰时，N恰为波谷，可知两波源的初相位差=2-1π波长λ=u/v=400/100=4m（1）在ON连线之间取任一点P，此点距O点恰距离为r1=x,则距N点为r2=(30–x)。两列波传到P点的相位差为=2-1-（2π/λ）（r2-r1）=π-（2π/4）(30–x–x)=-14π+xπ代入干涉减弱条件=(2k+1)π(k=0,1,,…)整理得x=2k+15(k=0,1,