工程力学第17章笔记

1第17章动量定理和动量矩定理17.1动量定理17.2质心运动定理本节要点：定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即2zzCJJmd证明：212211()zCiiJmrmxy222()ziiJmrmxy因11,xxyyd11.4.3平行轴定理y,y1z1zdxmCOz＝z1x＝x1r1ryy1x1由质心坐标公式1iCmyym2zzCJJmd由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量，过质心轴的转动惯量最小。2211222111[()]()2ziiiiJmxydmxydmydm当坐标原点取在质心C时,yC＝0,miyi＝0,又有mi＝m,于是得11.4.3平行轴定理2例11如图所示，已知均质杆的质量为m，对z1轴的转动惯量为J1，求杆对z2的转动惯量J2。解：由，得2zzCJJmd21(1)zCJJma22(2)zCJJmb2221()JJmba平行轴定理(1)－(2)得zz1z2abCl2OABll2OABll2例12均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m，求其对轴O的转动惯量。解：22225)2)(2()2)(2(12131mllmlmmlJJJABOAOOABll2组合刚体的转动惯量3例17.1教材p339【例17-2】17.3动量矩定理本节要点：例17.2高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为α。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。OOXOYMgm1gm2vN4例3高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。解：以系统为研究对象，受力如图。以顺时针为正，则vRmJLO2(e)2()sinOMMmgRF由，有(e)d()dOOiLmtF22d()sindJmvRMmgRt动量矩定理MOm2gNvm1gFOxFOy因,于是解得d,dvvaRt2222sinRmJgRmMRa若M＞m2gRsin，则a＞0，小车的加速度沿轨道向上。必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。动量矩定理例17.3如图所示，啮合齿轮各绕定轴O1、O2转动，其半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，转动惯5量分别为J1、J2，今在轮O1上作用一力矩M，求其角加速度。例9如图所示，啮合齿轮各绕定轴O1、O2转动，其半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，转动惯量分别为J1、J2，今在轮O1上作用一力矩M，求其角加速度。解：分别以两轮为研究对象，受力如图，由刚体定轴转动的微分方程，有111222,JMFrJFr由运动学关系，得1122rr注意到，联立求解以上三式得FF221221221MrJrJrO1r1r2O2MFO1yFO1xFFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2F′F′nM例17.4转动惯量1.均质细杆对过质心和端点且垂直于杆轴线轴的转动惯量Oz1z2l2lxxdx1O2OM1r2r61.均质细杆ddmmxl222121d12llzmJxxmll2201d3lzmJxxmll11.4.1简单形状物体的转动惯量2lz1dxxxCzdxxxOl设均质细杆长l，质量为m，取微段dx,则2、细圆环对过质心垂直于圆环平面轴的转动惯量3、薄圆板对过质心垂直于板平面轴的转动惯量yyRdrdrzR72.均质薄圆环对于中心轴的转动惯量zR设细圆环的质量为m，半径为R。则222ziiiJmrRmmRxyRrdr3.均质圆板对于中心轴的转动惯量设圆板的质量为m，半径为R。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm＝·2rdr,＝m/R2,于是圆板转动惯量为22201d2d2RzJrmrrrmR11.4.1简单形状物体的转动惯量4、圆柱体对其中心轴的转动惯量均质圆柱的转动惯量均质圆柱半径为R，质量M，长为L。ozxyRLdzdrdrdmMVdvMLRrddrdz2JrdmzM2MVrdvV2JMLRrdrddzMRzRL23002212Z8例17.5均质圆柱体A和B重量均为P，半径均为r。圆柱A可绕固定轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上。求B下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。例16均质圆柱体A和B质量均为m，半径均为r。圆柱A可绕固定轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上。求B下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。解：取A分析，受力如图。A作定轴转动，应用定轴转动的微分方程有AATJFrCTmamgFCBTJFr其中22ACJJmrOABCFTmgFOxFOyOAF'TmgCDBaC取B分析，受力如图。B作平面运动。应用平面运动的微分方程有由运动学关系aD＝rA,，而由加速度合成定理有()CDBABaarrgaC54例17.6如图质量为m的均质杆AB用细绳吊住，已知两绳与水平方向的夹角为α。求B端绳断开瞬时，A端绳的张力。OABC9AxCB[例4]如图质量为m的均质杆AB用细绳吊住，已知两绳与水平方向的夹角为。求B端绳断开瞬时，A端绳的张力。解：取杆分析，建立如图坐标。有21sin122TlmlFAB作平面运动，以A为基点，则nnCAACACAaaaaasinCxTmaFmgABFTCACAaaa因为断开初瞬时,vA＝0,＝0,故,an＝0Aan＝0CA将上式投影到x轴上，得sinCxCAaasin2Cxlasin13sinTmgF2CAlaanCAaCAaAanAAxCBaCxmgAB