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花了好长好长时间写的，请不要转载。（知乎日报已获授权）提问简直坑爹。不讲微积分怎么讲麦克斯韦方程组？麦克斯韦方程组里面每个方程都是一个积分或者微分。既然这样，我只能躲躲闪闪，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。（知乎日报注：虽然作者已经很努力地用通俗的语言讲解，下文仍含大量方程和公式，请理性选择，按需阅读^^）1.力、能、场、势经典物理研究的一个重要对象就是力force。比如牛顿力学的核心就是F=ma这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。但是力有一点不好，它是个向量vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。能量energy说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个标量scalar，加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。在电磁学里，我们通过力定义出了场field的概念。我们注意到洛仑兹力总有着F=q(E+v×B)的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情，刨去能量中的电荷（或电荷×速度），剩下的部分便是势potential。一张图表明关系：积分力－－－＞能｜｜场＜－－－势微分具体需要指出，这里的电场（标为E）和磁场（标为B）都是向量场，也就是说空间中每一个点都对应着一个向量。如果我们把xyz三个分量分开来看的话，这就是三个标量场。而能量和势是标量（电磁学中的势其实并不是标量，原因马上揭晓），放到空间中也就是一个标量场。在力/场和能量/势之间互相转化的时候，我们是在31个标量场之间转化，必然有一些信息是丢掉了的。怎么办？一个显而易见的答案是“保守力场”conservativeforcefield。在这样一个场中，能量（做功）不取决于你选择什么样的路径。打个比方，你爬一座山，无论选择什么路径，只要起点和终点一样，那么垂直方向上的差别都是一样的，做的功也一样多。在这种情况下，我们对力场有了诸多限制，也就是说，我假如知道了一个保守力场的x一个分量，那么另两个分量yz就随之确定了，我没得选（自由度其实只有一个标量场）。有了保守力场这样的额外限制，向量场F（3个标量场）和（1个）标量场V之间的转化便不会失去信息了。具体而言，二者关系可以写作F=-∇V。这里不说具体细节，你只要知道∇是一种固定的、把一个标量场变成三个标量场的算法就可以了（叫做算符operator）。那么我们想问，电场和磁场是不是保守力场呢？很不幸，不是。在静电学中，静止的电场是保守的，但在电动力学中，只要有变化的电场和磁场，电场就不是一个保守力场了；而磁场从来都不是保守力场。这也就是说明，在电磁学中，我们很少涉及能量这个概念，因为它不能完整地描述一个电磁场。我们更多时候只关注“场”这个概念，尽管因此我们不得不涉足很多向量微积分，但我们没有办法，这是不让信息丢掉的唯一办法。那么，既然势也是标量，它是否也是一个没什么用的概念呢？恰恰相反，在电动力学中我们定义出了“向量势”vectorpotential，以保留额外的自由度。后面我会更具体地谈到这一点。总而言之，我想说明一点，那就是电磁学的主要研究对象是电场和磁场，而麦克斯韦方程组就是描述电场和磁场的方程。势（包括电势和磁向量势）也是有用的概念，而且不像引力势是一个标量，在电磁学中势不得不变成一个向量。2.麦克斯韦方程组前边说到，麦克斯韦方程组Maxwellequations是描述电场和磁场的方程。前边也说到，因为电磁场不是保守力场，它们有三个标量场的自由度，所以我们必须用向量微积分来描述电磁场。因此，麦克斯韦方程组每个式子都出现了向量微积分，而整个方程组也有积分形式和微分形式两种。这两种形式是完全等价的，只是两种不同的写法。这里我先全部写出。积分形式：微分形式：这里E表示电场，B表示磁场，ε0和μ0只是两个常数暂时可以忽略。积分形式中Q是电荷，I是电流，V表示一块体积，∂V表示它的表面，而S表示一块曲面，∂S表示它的边缘。微分形式中ρ是电荷密度（电荷/体积），J是电流密度（电流/面积），∇·和∇×是两个不同的算符，基本可以理解为对向量的某种微分。先不说任何细节，我们可以观察一下等式的左边。四个方程中，两个是关于电场E的，两个是关于磁场B的；两个是曲面积分∫da或者散度∇·，两个是曲线积分∫dl或者旋度∇×。不要管这些术语都是什么意思，我后面会讲到。但光看等式左边，我们就能看出四个式子分别描述电场和磁场的两个东西，非常对称。3.电荷-电场，电流-磁场这一部分和下一部分中，我来简单讲解四个式子分别代表什么意思，而不涉及任何定量和具体的计算。我们从两个电荷之间的库仑力讲起。库仑定律Coulomb'sLaw是电学中大家接触到的最早的定律，有如下形式：其中Q是电荷，r是电荷之间的距离，r是表示方向的单位向量。像我之前说的，把其中一个电荷当作来源，然后刨去另一个电荷，就可以得到电场的表达式。高中里应该还学过安培定律Ampere'sLaw，也就是电流产生磁场的定律。虽然没有学过具体表达式，但我们已经能看出它与库仑定律之间的区别。库仑定律描述了“两个”微小来源（电荷）之间的“力”，而安培定律是描述了“一个”来源（电流）产生的“场”。事实上，电磁学中也有磁场版本的库仑定律，描述了两个微小电流之间的力，叫做毕奥-萨伐尔定律Biot-SavartLaw；反之，也有电场版本的安培定律，描述了一个电荷产生的磁场，叫做高斯定律Gauss'sLaw。这四个定律之间有如下关系：数学上可以证明库仑定律（毕奥-萨伐尔定律）和高斯定律（安培定律）在静电学（静磁学）中是完全等价的，也就是说我们可以任意假设一个定律，从而推导出另一个定律。然而如果我们想从静止的静电学和静磁学推广到电动力学，前者是非常不便的而后者很却容易，所以尽管库仑定律在中学中常常提到，麦克斯韦方程组中却没有它，有的是高斯定律和安培定律。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(1)和(4)的第一项，即：高斯定律（积分、微分形式）：安培定律（积分、微分形式）：我们继续推迟讲解数学关系，单看这几个式子本身，就能看到等式的左边有电场E（磁场B），而右边有电荷Q（电流I）或电荷密度ρ（电流密度J）。看，电荷产生电场，电流产生磁场！4.变化磁场-电场，变化磁场-电场然而这不是故事的全部，因为事实上电磁场是可以互相转化的。法拉第发现了电磁感应，也就是说变化的磁场是可以产生电场的，这就是法拉第定律Faraday'sLaw。类似地，麦克斯韦发现安培定律的描述并不完善，除了电流以外，变化的电场也可以产生磁场，这被称为安培-麦克斯韦定律Ampere-MaxwellLaw。这两个定律分别是麦克斯韦方程组里的(2)和(4)的第二项，即：法拉第定律（积分、微分形式）：安培-麦克斯韦定律（积分、微分形式）：同样地，等式的左边有电场E（磁场B），而右边有磁场B（电场E）的导数d/dt或偏导∂/∂t。看，变化磁场产生电场，变化电场产生磁场！需要指出的是，我这样的说法其实是不准确的，因为并不是真的某一个场“产生”的另一个场。这两个定律只是描述了电场（磁场）和磁场（电场）的变化率之间的定量关系，而不是因果关系。小结一下，我们已经搞清楚了麦克斯韦方程组里每一项的意思，基本就是指出了电磁场的来源和变化电磁场的定量关系。下一步便是往我们这些粗浅的理解中加入数学，具体看看这些方程到底说了什么。在这之前，我们必须花一点时间了解一下向量微积分的皮毛。5.向量积分普通的单变量微积分基本可以理解为乘法的一种拓展。我们想计算一个矩形的面积，我们用长x乘宽y，即xy。如果宽不是一个定值而是根据长而变化的（也就是说宽是一个长的函数，即宽=y(x)），那么我们就需要积分，记为“∫y(x)dx”。这样的想法也很容易推广到更高的维度，比如在一块体积V内，若电荷密度为ρ，那么这块体积内的总电荷就是Q=ρV；如果ρ在空间中每一点都不一样，是个关于坐标的函数ρ(x)，那么就要变成积分Q=∫∫∫ρ(x)dV（这里三个∫表示是一个三维的积分，很多时候也可以省略写为一个∫）。在向量场中，这个事情比较麻烦。首先两个向量的乘积的定义稍显复杂，必须使用点乘dotproduct，即u·v，它暗示着两个向量之间的角度，也就是有多么平行。如果u和v完全平行，它们的点乘是一个正值；如果方向相反，则是一个负值；如果垂直，那么为0。另一方面，我们不一定要像上一个电荷的例子一样积上整个体积V，我们可以只积一个曲面S或者一条曲线γ。这就是所谓的曲面积分和曲线积分的概念。曲面积分surfaceintegral有如下形式：其中S表示我们需要积的曲面，F是我们想要积的向量场，·代表点乘，a指向垂直于S的方向。因此，我们看到，如果F和S是平行的，那么点乘处处得0，这个曲面积分也为0。换句话说，曲面积分表示着向量场F穿过曲面S的程度，因此也很形象地叫做通量flux。下图为两个简单的例子（虚线----表示曲面所在的位置）：曲面积分（通量）为0：→→→→→--------------------→→→→→曲面积分（通量）不为0：↑↑↑↑↑↑↑↑--------------------↑↑↑↑↑↑↑↑那么曲线积分lineintegral也很类似，只不过我们不积一个曲面S而是一个一维的曲线γ。它有如下形式：其中γ表示我们需要积的曲线，·代表点乘，l指向曲线γ的方向。不难看出，曲线积分表示着向量场F沿着曲线γ的程度。下图为两个简单的例子（虚线----表示曲线γ）：曲线积分不为0：→→→→→--------------------→→→→→曲线积分为0：↑↑↑↑↑↑↑↑--------------------↑↑↑↑↑↑↑↑特别地，如果曲线是闭合的（首尾相连的），那么我们可以在积分符号∫上画一个圈，表示闭合，然后这个特殊的曲线积分叫做环量circulation，因为是积了一个环嘛。很显然，如果F是个保守力场，那么我随便找一个闭合曲线，做的功都一定为0（这就是保守力场的定义啊），所以保守力场的任意环量都为0。最后一提，“环量”这个名字很少使用，一般就直接叫做“闭合曲线的积分”。定义一个通量所使用的曲面S则不一定要是闭合的，任何曲面都可以。如果这个曲面很特殊恰好是闭合的，我们也可以在积分符号∫∫上画上一个圈，代表闭合，但这个量则没有一个特殊的名字了。总结如下表：6.麦克斯韦方程组的积分形式我非常不严谨地描述了曲面积分和曲线积分分别是什么。我们回头看看麦克斯韦方程组的积分形式，我们应该都能看懂了。(1)高斯定律：电场E在闭合曲面∂V上的通量，等于该曲面包裹住的体积V内的电荷（乘上系数1/ε0）；(2)法拉第定律：电场E在闭合曲线∂S上的环量，等于磁场B在该曲线环住的曲面S上的通量的变化率（乘上系数-1）；(3)高斯磁定律：磁场B在闭合曲面∂V上的通量，等于0；(4)安培麦克斯韦定律：磁场B在闭合曲线∂S上的环量，等于该曲线环住的曲面S里的电流（乘上系数μ0），加上电场E在该曲线环住的曲面S上的通量的变化率（乘上系数μ0ε0）。虽然在我看来，这样的描述已经是非常通俗、没有任何数学了，但对于没有学习过微积分的同学来说，显然还是太晦涩了一点。那么我来举几个例子吧。(1)高斯定律：例子1：假设我们有一个点电荷Q，以其为球心作一个球，把这块体积称为V，那么∂V就是这个球的表面。这个电荷Q产生了一些电场，从中心的Q向外发射，显然电场线都穿过了球的表面∂V，所以“闭合曲面∂V的通量”是个正数，不为0，而“该曲面包裹住的电荷”为