工程力学课程第10章

第10章教学方案——应力状态和强度理论基本内容应力状态概述二向应力状态分析的解析法三向应力状态强度理论概述四种常用的强度理论强度理论的应用教学目的1、了解应力状态分析的原因和一点应力状态的概念，掌握用微元描述一点应力状态。2、掌握平面应力状态中斜面上的正应力、切应力计算，熟练掌握主应力、主方向的确定及最大切应力的计算。3、了解广义胡克定律。4、了解强度理论的概念。5、掌握四种常用的强度理论6、了解四种强度理论应用条件。重点、难点一点应力状态的概念及描述；强度理论的概念及应用。第10章应力状态和强度理论10.1应力状态概述10.1.1问题的提出工程中有许多构件，其危险截面上的危险点同时承受正应力和切应力，这种受力状态称为复杂应力状态。由于复杂应力状态变化繁多，在强度计算时不可能一一通过实验确定失效时的极限应力。因此必须研究复杂应力状态的应力在各个方向的变化规律，为失效原因分析提供基础。10.1.2应力状态的概念受力构件内某一点处，各个不同方位截面上的应力及其关系称为一点的应力状态。为了研究一点的应力状态，可围绕该点取单元体。因为单元体的尺寸非常微小，可以认为各个面上的应力均匀分布，相对的两个面上的应力情况完全相同。构件上一点的应力状态，可由围绕该点的单元体各面上的应力情况表示。换句话说，单元体的受力就代表该点的应力状态。10.1.3单元体的取法通常用应力已知的截面来截取单元体。例如在图10.1（a）所示的轴向拉伸构件中，为了分析A点的应力状态，围绕A点用横截面和纵向截面截取出单元体研究，A点单元体受力如图所示。在图10.1（b）所示的扭转圆轴中，为了分析表面上C点的应力状态，围绕C点用左右两个横截面、上下两个纵向截面和平行表面的一个纵向截面截取出单元体研究，C点单元体受力如图所示。在图10.1（c）所示的矩形截面悬臂梁上，若研究m-m截面上A、B、C三点的应力状态，围绕三点分别用横截面和纵向截面截取出单元体研究。横截面上的应力分布如图，大小可由弯曲应力计算公式确定。A点在梁横截面的最上端，横截面方向只受正应力作用，其单元体受力如图示；B点在中性轴上，横截面上只受切应力作用，根据该截面上剪力的方向，可确定切应力的方向如图，其单元体受力如图示；同理可确定C点的单元体受力如图示。图10.1取出单元体，确定其受力后，应用截面法和静力平衡条件就可求出单元体其它截面方向上的应力。10.1.4主应力和主平面围绕构件内一点截取不同方向的单元体，则各个截面上的受力也各不相同。若某一截面上的无切应力，则称这种切应力为零的面为主平面。主平面上的正应力称为主应力。一般来说，受力构件的任意点上总存在三个互相垂直的主平面，也有三个主应力。三个主应力从大到小排列分别用σ1、σ2、σ3表示。若三个主应力中只有一个不等于零，称为单向应力状态，图10.1中的A点就是单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，称为二向或平面应力状态，图10.1中的B、C点就是二向应力状态。若三个主应力都不等于零，称为三向或空间应力状态。单向应力状态也称为简单应力状态，二向和三向应力状态也统称为复杂应力状态。10.2二向应力状态分析的解析法10.2.1二向应力状态下斜截面的应力二向应力状态是最常见的一种应力情况。图10.2所示的单元体为二向应力状态的最一般的受力情况。建立图示坐标系，坐标轴x、y、z分别是单元体三个互相垂直平面的法线，对应的面分别称为x面、y面、z面，其上的应力加该面的名称作为下标，如σx、τy等。为了确定任意斜截面上的应力，需首先对单元体上的各应力正负号作如下约定：正应力：拉应力为正，压应力为负。切应力：使单元体顺时针旋转的切应力为正，反之为负。按照上述约定，图10.2中各应力σx、σy和τx为正，τy为负。用垂直于z面、与x面夹角为α的斜截面将单元体假想地截开，如图10.3（a）。由于所有应力作用线均平行于z平面，将单元体受力图投影简化为图10.3（b）形式，x、y面和斜截面用投影的线段表示。取出楔形体ABC研究，斜截面上的应力σα、τα按正向假设标出，如图10.3（c）所示。若设斜截面的面积为dA，则侧面AB和底面AC的面积分别为dAcosα和dAsinα。则楔形体ABC的受力图如图10.3（d）所示。图10.2图10.3列斜截面法向n和切向t的投影平衡方程，有0sin)sind(cos)sind(cos)cosd(sin)cosd(d,00cos)sind(sin)sind(sin)cosd(cos)cosd(d,0AAAAAFAAAAAFyyxxtyyxxn注意到τx和τy数值上相等，都用τx表示，利用三角公式，上面两式简化为2sin2cos22xyxyx（10-1）2cos2sin2xyx（10-2）以上公式就是计算二向应力状态下任意斜截面上应力的公式。这里α是指斜截面与x截面的夹角，即两截面外法线正向x和n间的夹角。规定由x轴正向转到法线n正向，若为逆时针转向，α为正；顺时针转向，α为负。在应用以上公式时，应注意正确地选取各量的符号。还应注意到，公式中的斜截面仅是指垂直于z面的斜截面，并不能求解任意斜截面上的应力。10.2.2主应力和主平面方位斜截面上的应力是随α角的改变而变化的。利用以上公式就可进一步确定正应力和切应力的极值和所在位置。将公式（10-1）对α求导数并令其为零，得02cos2sin22xyxdd与（10-2）式比较，可见在正应力的极值作用截面上，切应力为零。根据主应力和主平面的定义，正应力的极值就是主应力，其作用面就是主平面。以α0表示主平面方位，则由上式解得主平面方位yxx22tan0（10-3）从上式可求出相差900的两个α0角。加上主平面z面，构成互相垂直的三个主平面，形成由主平面组成的主应力单元体。由（10-3）式求出sin2α0和cos2α0，代入（10-1）式，得主应力为22minmax22xyxyx（10-4）10.2.3最大切应力将公式（10-2）对α求导数并令其为零，解得切应力的极值作用平面方位（用α1表示）为xyx22tan1（10-5）从上式也可求出相差900的两个α1角。比较（10-3）式与（10-5）式可得00145即切应力的极值作用平面与主平面成450角。由（10-5）式求出sin2α1和cos2α1，代入（10-2）式，得切应力的最大和最小值为22minmax2xyx（10-6）【例10-1】单元体受力如图10.4（a）所示（应力单位：MPa）。试求：（1）指定斜截面上的应力；（2）主应力和主平面方位；（3）最大切应力。解：（1）计算斜截面的应力建立图10.4（a）所示坐标轴，根据符号规定有：σx=60MPa，σy=-80MPa，τx=35MPa，α=600。将上述数据代入（10-1）和（10-2）式，可得MPa3.75120sin35120cos280602806000600MPa1.43120cos35120sin2806000600（2）计算主应力和主平面方位由（10-3）式得5.080603522tan0解得00007.76,3.13为了确定对应主平面上的主应力值，分别将0和0值代入（10-1）式，得MPa3.68)6.26sin(35)6.26cos(2806028060000MPa3.884.153sin354.153cos2806028060000若按主应力排列，则MPa3.88,0,MPa3.68321。主应力单元体如图10.4（b）所示。（3）最大切应力由（10-6）式得MPa3.78352806022minmax其作用面方位由00145得：017.31和013.58。其单元体如图10.4（c）所示。图10.410.4三向应力状态10.4.1三向应力状态概述三向应力状态是最一般的应力状态情况，其单元体受力为：在每个截面上都有正应力和平行于该截面棱边的两个切应力分量，如图10.8（a）所示。理论分析证明，与二向应力状态类似，三向应力状态单元体也可以找到互相垂直的三个主平面，得到主应力单元体，如图10.8（b）所示。在工程实际中经常会出现三向应力状态的情况。例如滚珠轴承中的滚珠与外圈的接触处，由于有接触应力σ3的作用，单元体会向四周膨胀，引起周围材料对它的约束应力σ1和σ2，受力呈三向应力状态，如图10.9所示。10.4.2三向应力状态的最大应力为了分析单元体上的最大应力，在主应力单元体上取平行于σ3的α截面（图10.10a），沿σ3方向将单元体受力图投影可以看出，单元体受力与二向应力状态完全相同，因此可用二向应力状态的分析方法求α截面上的应力，画出该方向斜截面应力圆如图10.10（d）所示。同理，分别取平行于σ1的β截面（图10.10b）和平行于σ2的γ截面（图10.10c），画出相应的应力圆。两两相切的三个应力圆圆周上的点对应于平行于三个主应力方向的斜截面上的应力。可以证明，与三个主应力方向不平行的一般斜截面上的应力点落在图10.10（d）所示的阴影区域内。从应力圆图中可以看出，最大正应力和最小正应力分别为3min1max,最大切应力为231max（10-7）图10.10图10.9图10.8图10.11最大切应力位于平行于σ2，且与σ1和σ3均成450的斜截面上。10.4.3广义胡克定律对于三向应力状态单元体的变形，根据叠加原理，可以借助单向拉压的虎克定律计算。即图10.11（a）所示单元体变形，等于图10.11（b）、（c）、（d）三种情况下单元体相应变形的代数和。当只有σ1作用时（图10.11b），棱边1将伸长，棱边2、3将缩短。各方向的应变为EE13211,同理，在只有σ2作用（图10.11c）和只有σ3作用时（图10.11d），各方向的应变分别为EEEE3213323122,,在小变形条件下，叠加可得三个主应力同时作用时各棱边的应变为)(1)(1)(1213331223211EEE（10-8）上式称为广义虎克定律。所求的应变ε1、ε2、ε3称为主应变，其中ε1是所有方向应变中的最大值，即1max对于线弹性小变形条件下的各向同性材料，正应变只与正应力有关，与切应力无关。因此，对于如图10.8（a）所示的一般受力情况单元体，其广义虎克定律可表示为)(1)(1)(1yxzzzxyyzyxxEEE（10-9）【例10-4】图10.12所示一个宽、深均为10mm的刚性槽内放置一10×10×10（单位：mm）的正立方体钢块，顶部施加均布压力p=60MPa，钢材料的弹性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3。假设钢块与槽之间光滑接触。求钢块的三个主应力和最大切应力。解：（1）计算钢块三个方向的应力选取图示坐标系，沿y方向作用均布压力，则σy=–p=–60MPa沿z方向不受力，且变形不受限制，则σz=0沿x方向受刚性槽约束不变形，则εx=0根据广义虎克定律0)(1zyxxE解得σx=–18MPa（2）确定钢块的主应力将σx、σy、σz从大到小排列，三个主应力为σ1=0，σ2=–18MPa，σ3=–60Mpa（3）计算钢块的最大切应力MPa30231max10.3强度理论概述10.5.1材料的破坏形式前面曾接触过一些材料的破