嫦娥三号着陆优化轨道312组

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1嫦娥三号优化轨道的求解摘要嫦娥三号的成功发射备受国内外的瞩目，标志着我国航天事业又迈出了意义重大的一步。取得如此成功不是偶然，其中成熟的软着陆轨道设计与控制策略为我国航天事业做出了巨大贡献。在嫦娥三号软着陆轨道优化设计中,以燃料最省和着陆安全为主要目标,结合实测数据和实际要求,对嫦娥三号软着陆过程进行分析,并对各阶段控制策略进行规划,运用MATLAB对嫦娥三号的着陆轨道进行了模拟优化设计,最终确立最优落月轨迹.通过建立误差分析和敏感性分析模型,对设计的着陆轨道和控制策略进行可行性分析,获得影响着陆器安全着陆的主要因素,为今后更深层次的月球探测和轨道优化提供理论依据和方法支持.本文确定了着陆准备轨道近月点和远月点的位置以及嫦娥三号相应速度的大小与方向，并就嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略提出了优化模型，最后做出了相应的误差分析和敏感性分析。针对问题一，建立基于开普勒第二定律和能量守恒定律的绕月模型对远月点近月点的速度进行求解，求得近月点的速度为1962m/s,远月点的速度为1613.76m/s,方向都沿轨道的切线方向且指向嫦娥三号的运动方向。然后建立了两个lingo优化模型对近月点和远月点的位置进行求解，其中一个是变推力恒质量优化模型，另外一个是变质量恒推力优化模型。通过比较分析，后者燃料消耗比前者更少，且主减速阶段的用时更少，所以认为变质量恒推力优化模型更优。然后用matlab绘制最优变量的变化图直观分析，通过三维空间的几何关系求出近月点位置（39.236W或0.216E，46.555N，15000m）,远月点位置（179.784W或140.764E，68.375S，100000m）。针对问题二，主减速阶段用时432秒，消耗燃料1102.9kg。快速调整阶段考虑建立lingo优化模型进行求解，用时约21.24s,消耗燃料30.25kg；粗避障阶段首先用matlab的imread功能将图片导入，然后应用螺旋搜索算法搜索最优着陆点，然后用lingo就嫦娥三号的控制策略进行优化，求得耗时约58.7s,消耗燃料57.97396kg；精细避障阶段与粗避障阶段的处理方法近似，求得用时19.44s,消耗燃料9.920428kg；缓慢降落阶段直接用lingo进行优化，求得共用时约3.5s，消耗燃料4.133254kg。加上100m时悬停30s,全程共用时565秒，消耗燃料1204.95kg.2针对问题三，首先对主减速阶段的优化模型进行敏感性分析，观察图像得灵敏度一般都稳定在0附近，可见模型总体上还是比较稳定的。但是有一个点的dualprice达到了12.39371，可见当该约束发生微小变化时，优化结果会有较大变化。然后对快速调整阶段的优化模型进行敏感性分析，发现灵敏度刚开始在0附近，但是有一段突增的过程，然后又逐步恢复到0左右。这一段突增是因为人为添加了一个约束。这个人为添加的约束是为了使快速调整阶段的优化结果更加符合实际情况，所以可以尝试找寻更加合适的约束条件。误差分析，主要分析地球引力、月球扁率等误差的影响，利用误差传递公式，得知这些误差项不会对结果造成多大的影响。最后对模型进行评价，并且提出了更加适合非线性规划的遗传算法。关键词：非线性优化离散化lingo螺旋搜索算法误差分析敏感性分析3一、问题重述1.1问题背景嫦娥三号的成功发射备受国内外的瞩目，其中软着陆的成功实现是关键一步。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。要求设计着陆轨道满足以下要求：（1）着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；（2）要求满足6个阶段在关键点所处的状态；（3）尽量减少软着陆过程的燃料消耗。根据设计的轨道计算远月点和近月点的位置，速度，速度方向，并对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二、模型假设1）燃料消耗只考虑主发动机；2）不考虑地球等其他星球的影响；3）不考虑月球扁率的影响，把月球看作一个规则的球体；4）假设月球上空完全真空，没有空气阻力的影响；5）假设着陆过程的轨迹在同一个平面内；6）假设每个阶段的最优解构成了整个着陆过程的最优解；7）假设飞行器运行过程中内部器件全部正常；8）假设月球上空的大气环境适合软着陆；4三、符号说明纬圆半径弦长月球的两极半径南北距离近月点的纬度变化纬度近月点的经度变化经度高空的纬度变化值纬度轨道面内的摆动角推力与速度夹角飞行器质量总推力切向速度法向速度角度极径时间间隔切向推力法向推力月球质量飞行器质量万有引力常数月球的平均半径的夹角与的夹角与远月点的速度近月点的速度距离远月点飞行器到月心的距离近月点飞行器到月心的纬圆弦两极南北月::::::3000::::)(::::)(:)(:::::::::::::1130002221112121rlrlmimfvviirtffMmGrrvrvvvrrrr5四、模型的建立与求解4.1问题一针对问题一，采用两个模型分别对速度和远月点近月点的位置进行求解。对速度的求解，需要运用物理学知识并结合Matlab求解二元一次方程组；对远月点近月点位置的求解，考虑到结果的不唯一性，利用优化模型求解出唯一的解。4.1.1基于绕月模型对速度的求解由于假设4中忽略了空气阻力的影响，并且主减速器并未开始减速，所以嫦娥三号在绕月过程中只受到万有引力的作用。图一绕月模型图图二嫦娥三号抛物示意图利用开普勒第二定律和能量守恒定律，222221212221112121sinsinrGMmmvrGMmmvvrvr其中690100152121kmrrkmrr月月用matlab编程求解二元一次方程组（程序参见附录一），求得smvsmv/76.1613/196221速度方向与椭圆轨道相切，指向运动方向。4.1.2基于离散化的优化模型对近远月点坐标的求解要确定远近地点的坐标，首先可以近似认为嫦娥三号在3000m高空处的位置恰好在预定着陆点（19.51W,44.12N）的正上方，然后只需要研究从15000m到3000m的主减速阶段。虽然预定着陆点已经确定，但是开始降落地点仍然不唯一。考虑到尽量减少燃料消耗，这里用优化模型对问题进行求解。首先建立极坐标系以确定目标函数、决策变量和约束条件，图解如下：图三极坐标系经过分析，我们发现这是非线性优化问题，我们考虑通过对过程离散化将其转化为容易求解的线性优化问题，用lingo进行求解。被离散化的参量有推力f,月心距r，速度v,偏角，夹角，嫦娥三号质量m，还有时间t等，被离散的参量过于庞大，用lingo7求解十分缓慢，基本找不到可行解，因此，在解题过程中我们对模型进行了简化，在误差允许的情况下固定一些参量进行尝试求解。尽管如此，大多情况下，lingo的耗时依然很长，通过若干次实验和对比，我们考虑取lingo运行5分钟内的当前最优解作为近似最优解，这个解也往往就是最优解，误差并不大。模型一：变推力恒质量优化模型作为尝试求解的模型，这个模型的是假定飞行器飞行过程中质量不变（忽略燃料的消耗所带来的质量变化），对其他变量进行离散化，在被离散的每个小段里，各个参量的值保持不变，满足线性条件。经过几个离散化求解，我们发现离散规模不同时，近似最优解也不相同，离散的规模越大，得到的近似最优解越优秀，但是增幅越来越小，由于离散规模增大后数据处理和表格制作变得非常繁杂，而且计算耗费时间量很大，我们选择将这个过程离散化为30个等时间间隔的阶段，具体理由我们会在第二问中详细说明，于是得到以下优化模型：30...4,3,2,*)1(/)1()1()(30...4,3,2,*)1()1()(2940/*)()(min29122itiriviiitivirirtififrir30..4,3,2,*2400/)1(*6246.1)1()(29...3,2,1,7500)()(150022itiftiviviififrrrr1737013;15000r(1)30...4,3,2,*2400/)1()1()(itifiviv0;(1)0;(30)1737013;3000r(30)其中，各个物理参量的含义如下：切向速度法向速度，角度，极径时间间隔，切向推力，法向推力，:::)(:)(:::vviirtffrr在lingo中编写程序求解上述最优化问题（程序参见附录二），求得8484.3sT1561.257kg2940/*)()(min29122tififir结果解释：燃料消耗量是1561.257kg,而飞行器的总质量为2.4t,所占比例超过50%，可见不能忽略燃料消耗而导致的飞行器的质量的变化。但是发现以下结论：表一关系图、、fffrf1f2f3661.1326545.6947499.99983136706540.7267499.9997743678.8486535.7547500.0001973687.6766530.7777500.0001673696.4836525.79675003705.276520.8117500.000125………………3885.1766415.2487499.9999633893.5246410.1857500.0000583901.8526405.1197499.999896显而易见，在这个模型中，虽然是变力问题，但是最优结果显示，推力一直保持在7500N。由此推断，只有当推力保持在7500N的时候才能获得最少燃料消耗。模型二：变质量恒推力优化模型查阅相关参考资料]1[，软着陆的最优化轨道计算里，我们可以采用最优常值推力法，推力f在1500到7500内寻求一个最优常值，使得所需燃料最少，同理将这个过程离散化为30个等时间间隔的阶段，得到以下优化模型：30...4,3,2,*)1(/)1()1()(30...4,3,2,*)1()1()(2940/*mi