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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：01059029所属学校（请填写完整的全名）：北京联合大学参赛队员(打印并签名)：1.靳宝2.吴佳怡3.魏佳指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张晓晞日期：2014年9月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）1嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要嫦娥三号任务令中华民族千年登月梦想成真，也标志着中国航天技术再上一层楼，向将来开展载人探月工程又前进了一步。嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。为了解决此情况，因此正确计算着陆轨道近月点和远月点的位置以及航天器登月时关键的六阶段的速度和角度调整对嫦娥三号软着陆的轨道设计有着至关重要的意义。在处理问题一时，根据文章中对嫦娥三号从近月点到着陆点的运动状态和附件一中近月轨道示意图，可以将此运动看作近圆运动，利用万有引力定律和开普勒定律可以计算出嫦娥三号在近月点和远月点的速度。从文章中得知嫦娥三号在近月点15公里处以抛物线下降，相对速度从每秒1.7公里逐渐降为零，由此可见，嫦娥三号的下降运动为类平抛运动，因此利用运动学公式可以解决这个问题。一、问题的提出与重述嫦娥三号是中国国家航天局嫦娥工程第二阶段的登月探测器，包括着陆器和月球车。它携带中国的第一艘月球车，并实现中国首次月面软着陆。嫦娥三号由着陆器和巡视探测器组成，进行首次月球软着陆和自动巡视勘察，获取月球内部的物质成分并进行分析，将一期工程的“表面探测”引申至内部探测。其中着陆器定点守候，月球车在月球表面巡游90天，范围可达到5平方公里，并抓取月壤在车内进行分析，得到的数据将直接传回地球。它将是中国发射的第一个地外软着陆探测器和巡视器(月球车)，也是阿波罗计划结束后重返月球的第一个软着陆探测器,是探月工程二期（落）的关键任务，起承上启下的作用。叶培建介绍，嫦娥三号探测器将突破月球软着陆、月面巡视勘察、月面生存、深空探测通信与遥控操作、运载火箭直接进入地月转移轨道等关键技术嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确性地在月球预定区域内实现软着陆。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15Km，远月点100Km的椭圆形轨道先按椭圆轨道运行有两方面原因：1.节约燃料。嫦娥三号飞向月球的绝对速度是很大的，如果直接减速，需要很大的反推动力和燃料来使其减速，同时很危险使工作人员没有足够的时间来应对突发状况。椭圆形轨道可以起到缓冲的作用。2.确保成功，在椭圆形轨道运行，可以留出多余的时间来确定着陆点，着陆时间，减速参数，等等。根据嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗的要求，回答下列问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。2二、问题的分析和解决1.确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向月球软着陆，是指月球着陆器经取地月转移到达月球附近后，在制动系统的作用下以很小的速度近乎垂直地降落到月面上，以保证宇航员的安全和实验设备的完好。控制要求就是要求当登月探测器高度接近地面时，竖直方向上的速度和加速度也应基本为零，同时在水平方向上也不能有很大的速度和加速度。登月探测器的着陆控制包含竖直方向的运动控制，水平方向的运动控制，以及姿态控制等等着陆器进入着陆准备轨道的近月点是15KM，远月点是100KM。近月点在月心坐标系的位置和软着陆轨道形态共同决定了着陆点的位置。首先进入主减速段的区间是距离月面15km到3km。该阶段的主要是减速，实现到距离月面3公里处嫦娥三号的速度降到57m/s。快速调整段的主要是调整探测器姿态，需要从距离月面3km到2.4km处将水平速度减为0m/s，即使主减速发动机的推力竖直向下，之后进入粗避障阶段。粗避障段的范围是距离月面2.4km到100m区间，其主要是要求避开大的陨石坑，实现在设计着陆点上方100m处悬停，并初步确定落月地点。（1）开普勒定律开普勒第一定律，也称椭圆定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。开普勒第二定律，也称面积定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积是相等的。这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。用公式表示为开普勒第三定律，也称调和定律：各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的地方成正比。由这一定律不难导出：行星与太阳间的引力与半径的平方成反比。这是牛顿的万有引力定律的一个重要基础。用公式表示为。（2）万有引力任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。122MMFGr，其中12MM，为两物体的质量，11226.6710..GNmkg（牛顿每平方米二次方千克）根据以上的分析，建立以月球赤道平面为xOy平面,月心为原点O、Ox为月心与零度经线和零度纬线交线的交点的连线，Oz为极轴（月球的极轴），Oy与Ox和Oz满足右手标架，建立空间直角坐标系(如图5-1所示）。3图5-1卫星绕月轨迹及软着陆轨迹由于着陆点在球面上且近月点与远月点是由月球的经度、纬度及高度唯一确定，在此为了便于计算将极坐标转化为空间直角坐标，并代数题中相关数据，反解出经度。极坐标转化为空间直角坐标即：sincossinsincosxryrzr（5.1.1）'''sin(90-sin(90-cos(90-xryrzr）cos(-)）cos(-)）（5.1.2）距离公式：'2'2'2000()()()dxxyyzz（5.1.3）其中：为纬度；为经度；r为嫦娥三号距月心的距离；d为嫦娥三号距着陆点的距离；根据能量守恒、开普勒第二定律（面积定律），建立以下模型即：112222121122rvrvmvmghmvmgH（5.1.4）则近月点的速度，近月点的速度：221222121222212()2()gHhrvrrgHhrvrr（5.1.5）4其中：m为卫星的质量，1h为海拔高度，h近月点距月球表面的距离；101rhrh，201rHrh，0r月球半径，H远月点距月球表面的距离，g月球重力加速度，1v近月点的速度，2v近月点的速度。根据题目所给数据以上分析，可知：010,15000,1737013,2641hmrmhm将以上数据代入（5.1.1）式可得，着陆点及近月点的空间直角坐标分别为：000000000sin(90)cossin(9019.51)cos44.12sin(90)sinsin(9019.51)sin44.12cos(90)cos(9019.51)xrryrrzrr（5.1.6）'0'0'sin(90-)cossin(90-)sincos(90-xrhyrhzr）cos(-)=(r）sin(-)=-(r）=0（5.1.7）再将（5.1.6）式和（5.1.7）式代入（5.1.3）式可得关于与d（近月点和着陆点距离）的函数，？利用Mathematica5.0编程求解可得：-139.107近月点与远月点的速度方向，即为相应速度在x轴与y轴方向上的投影（如图5-2所示）图5-2近月点与远月点的速度方向示意图2.确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略探月器在月球引力场中的动力学方程用极坐标表示为：5第一次制动时，开普勒轨道的轨道方程探月器的径向速度和横向速度为：探月器制动变轨的开始和结束位置为待优化参数，设其极角分别为Ф1和Ф2。当给出一组Ф1和Ф2时，由式（2）可得探月器的位置和速度在制动变轨的初终值条件。探月器质量的初值m0为已知，终值自由。综合起来则可得到式(1)的边界条件。第二次制动时，变轨的初始条件与第一次类似，可由开普勒轨道的性质得到。终端条件为：r=1738km,vr=0,vФ=0（3）将方程（1）写为以下形式该式称为系统的状态方程，式中X=[x1，x2，x3，x4]T=[r，vr，vФ，m]T，称为状态变量。设状态变量的初、终值为X(H1)=X1和X(H2)=X2，由上一节分析可得变轨的边界条件：按照燃料最省的要求，取变轨结束时探月器质量的负值为性能指标，即：6引入辅助的Hamilton函数：式中K=[λ1，λ2，λ3，λ4]T，称为协态变量。根据Pontryagin极大值原理可以得到如下最优条件。协态变量满足协态方程：最优推力方向角：横截条件：存在一常向量υi使得λi在端点满足：由于变轨的初始位置和终端位置不定，则有：最优控制问题可以通过求解式(4)，(5)和(7)～(11)得到，这是一个复杂的两点边值问题。（2）、模型求解与验证应用遗传算法求解最优控制问题首先将上述最优控制问题转化成一个最优化问题：寻找最优参数Φ1，Φ2，λ1(Φ1)，λ2(Φ1)，λ3(Φ1)，λ4(Φ1)，使状态变量的终值满足边界条件，并使性能指标取最小值。然后引入“伴随控制”变换，利用协态变量与控制变量存在的依赖关系,用控制变量u(Φ1)及其导数u′(Φ1)的初始值得到协态变量的初值λ1(Φ1)～λ4(Φ1)，从而使待优化参数的数目从6个减少到4个，减少了运算量。采用实数编码的遗传算法，把Φ1，Φ2，u(Φ1)，u′(Φ1)作为个体子串，当给出一个初值时，由“伴随控制”变换和初始条件，得到协态变量和状态变量的初值。然后求解初值问题式(4)，(8)，同时由式(9)确定u(Φ)，于是Φ=Φ2时，得到状态变量的终值x1(Φ2)，…，x4(Φ2)，选择适应函数为：F(Φ1，Φ2，u(Φ1)，u′(Φ1))=-x4(Φ2)+Cûg2(X2)û，(12)式中C为自定义的权系数。通过遗传操作进行迭代，当F取极小值时得到最优的Φ*1，Φ*2，u*(Φ*1)，u′*(Φ*1)，解初值问题式(4)，(8)可以得到最优轨线x*i(Φ)和λ*i(Φ)，再由式(9)可求得最优控制规律*(Φ)。设探月器质量m=150kg，发动机推力F=500N，比冲V=400s。探月器从200km7高的月球停泊轨道出发，经过第一次变轨制动，减速到近地点为1738km(即月球半径)，远地点为1938km的椭圆轨道上。在接近月面附近时进行第二次制动，实现在月面的软着陆。计算结果如表1所示。两次制动，发动机推力方向随时间的变化曲线分别如图2，3所示：以燃料消耗最少为目标，提出了通过两次制动来实现探月器软着陆的方案。采用Pontryagin极大值原理