巧用向量法探究直线x0x+y0y=r2的实质

1巧用向量法探究直线x0x+y0y=r2的实质------对《圆的切线方程x0x+y0y=r2的教学尝试》的改进宋宝琴南京市江宁高级中学2111002005年11月底，笔者在带领高三学生复习《直线与圆》一节内容时，学习了贵刊2000年第6期刊登的许卫华的《圆的切线方程x0x+y0y=r2的教学尝试》的文章，深受启发，在教学中就引用了他的教学设计。但在课堂中经师生讨论后，发现用向量的观点解决其中的问题更为简捷。是以草就此文，以就教于方家。（一）探究x0x+y0y=r2的实质结论1：已知圆的方程为x2+y2=r2，则经圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2。证明：在切线l上任取一点P（x,y）（异于M点），则MPOM，即0MPOM0)(OMOPOM22rOMOPOM,而),(00yxOM,),(yxOPx0x+y0y=r2，经检验点M（x0，y0）也适合，经圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2。图1结论2：已知M（x0,y0）为圆x2+y2=r2外一点，过M（x0,y0）作圆的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，试证明直线AB的方程为x0x+y0y=r2证明：设直线AB上异于A点的任一点P（x,y）ABPABOM,0APOM，即0)(OAOPOM，即OAOMOPOM，因为M点是以A为切点的切线上的一点，由结论1知2rOAOM，2rOPOM，经检验A点也适合，即直线AB的方程为x0x+y0y=r2图2结论3：若M（x0,y0）在圆x2+y2=r2内，过M点作两条弦CD，EF分别交圆于点C，D，E，F，以C，D为切点的切线交于A点，以E，F为切点的切线交于B点，则直线AB的方程为x0x+y0y=r2证明：直线CD是以A点引出的两条切线的切点弦，M是其上一点，由结论2知oMPxyOABMxy22rOAOM同理：2rOBOM0)(OBOAOM，即ABOMP是直线AB上一点，APOM0)(OAOPOM即2rOAOMOPOM，即直线AB的方程为x0x+y0y=r2图3由结论1，2，3可知，M点在圆外，圆上，圆内时，其对应直线的向量条件均为2rOPOM且该直线均与OM直线垂直，同时，该直线的向量条件也不会因圆心的变化而出现结构上的变化，因此可得如下推论。推论1：若M（x0,y0）为圆O1：（x-a）2+(y-b)2=r2上一点，则以M（x0,y0）为切点的切线方程为（x0-a）(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2，向量形式即为211rPOMO（P为直线上任一点）推论2：若M（x0,y0）为圆O1：（x-a）2+(y-b)2=r2外一点，过M（x0,y0）作圆的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则切点弦所在直线AB的方程为（x0-a）(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2，向量形式为211rPOMO（P为直线AB上任一点）推论3：若M（x0,y0）为圆O1：（x-a）2+(y-b)2=r2内一点，过M点作两条弦CD，EF分别交圆于点C，D，E，F，以C，D为切点的切线交于A点，以E，F为切点的切线交于B点，则直线AB的方程为（x0-a）(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2，向量形式为211rPOMO（P为直线AB上任一点）。（二）结论的应用例1：如图，AB是圆O的非直径弦，过AB中点P作两弦A1B1，A2B2，过A1，B1分别作圆O的切线得到交点C1，过A2，B2分别作圆O的切线得到交点C2，求证：C1C2//AB证明：由平几知识知：ABOP由结论3知：21CCOP图4OECDFMABxyOA2A1B1B2PC1C2xyAB3因此C1C2//AB例2：如图：已知圆方程x2+y2=r2，P（x0,y0）为定圆外一点，过P作圆的两条切线PT1，PT2，过P的圆的任一割线交切点弦T1T2于R，交圆于N，M点，求证：|PM|，|PR|，|PN|的倒数成等差数列。证明：由切割线定理可知：2PTPNPM，因此原命题)(2PNPMPRPNPM)2(221OPONOMPRPT图5])([2221PRONOMOPPRPT因为OPPRPT21OROPOPOTOP221)(212112OTOROPOTOTOP（因为21OTOROP）0)(211211OTOPOTOTOTOP11PTOT（证毕）教学研究无止境，本文是在许文的启发下，在师生的共同努力下形成的，不正确之处敬请专家斧正。参考文献：《圆的切线方程x0x+y0y=r2的教学尝试》2005年12月9OT2T1PMNRxy