差分方程在经济学中的应用

第四节差分方程在经济学中的应用本节介绍差分方程在经济学中的几个简单应用，以期望读者有一些初步了解．一、存款模型设St为t期存款总额，i为存款利率，则St与i有如下关系式：St+1=St+iSt=(1+i)Si,t=0,1,2,…，其中S0为初始存款总额．二、动态供需均衡模型(蛛网定理)普通市场上一般商品的价格能影响消费者对该种商品的需求量，需求量与价格呈反向变化．设Dt表示t期的需求量，St表示t期的供给量，Pt表示商品t期价格，则传统的动态供需均衡模型为：)3(,)2()1(,,111ttttttSDPbaSbPaD其中a,b,a1,b1均为已知常数．上述各方程的经济意义是：(1)式表示t期(现期)需求依赖于同期价格；(2)式表示t期(现期)供给依赖于(t1)期(前期)价格．这里实际上假定该种商品生产行为既不是瞬时的，也不是连续的，而是要求有一个固定的生产周期．生产者总认为：本期的市场价格将在下一周期内保持不变，并按现期价格安排下一周期的生产．因此，第t期的供给量St，实际上由前一周期价格Pt1决定，也就是说，供给量滞后于价格一个周期．(3)_式为供需均衡条件．若在供需平衡的条件下，而且价格保持不变，即Pt=Pt1=Pe，那么由(1)(2)(3)式，我们即得静态均衡价格：Pe=bbaa11．显然，若将需求曲线与供给曲线画在同一坐标平面上，其交点(Pe,Qe)即为该种商品的静态均衡点．一般地，将动态供需均衡模型的(1)(2)两式代入(3)式，便得到动态供需均衡模型的等价差分方程：Ptbb1Pt1=baa1．(1141)这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，可求得(1141)的一个特解tP=bbaa11=Pe,从而，方程(1141)的通解为：Pt=A(bb1)t＋Pe,这里A为任意常数．若初始价格P0已知时，将其代入通解，可求得任意常数A=P0Pe，此时，通解改写为Pt=(Ｐ0Ｐe)(1bb)t+Ｐe．(1142)如果初始价格P0=Pe,那么Ｐt=Ｐe，这表明没有外部干扰发生，价格将固定在常数值Ｐe上，这就是前面所说的静态均衡．如果初始价格Ｐ0≠Ｐe,那么价格Ｐt将随t的变化而变化．显然，由通解(1142)式可知，当且仅当︱1bb︱＜1时，有10eeelimlim()()ttttbPPPPPb,也就是说，动态价格Ｐt随着t的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格Ｐe．图111是普通商品的价格与供需关系图．图111图111形状类似于蜘蛛网，故称此模型为蛛网模型(或蛛网定理)．三、凯恩斯(Keynes．J．M)乘数动力学模型设Yt表示t期国民收入，Ct为t期消费，It为t期投资，I0为自发(固定)投资，ΔI为周期固定投资增量．凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为：)3(,)2()1(,0,1IIIbYaCICYtttttt其中(1)式为均衡条件，即国民收入等于同期消费与同期投资之和；(2)式为消费函数，即现期消费水平依赖于前期国民收入(消费滞后于收入一个周期)，a(≥0)为基本消费水平，b为边际消费倾向(0＜b＜1);(3)式为投资函数，这里仅考虑为固定投资．在(1)(2)(3)式中消去Ct和It，得到一阶常系数非齐次线性差分方程：YtbYt1=a+I0+ΔI．(1143)可求得(1143)的一个特解tY=bIIa10,从而，方程(1143)的通解为Yt=A·bt＋bIIa10，其中A为任意常数．我们称系数b11为凯恩斯乘数．四、哈罗德(Harrod．R．H)经济增长模型设St为t期储蓄，Yt为t期国民收入，It为t期投资，s称为边际储蓄倾向(即平均储蓄倾向)，0＜s＜1，k为加速系数．哈罗德宏观经济增长模型为：11,01,(1)(),0,(2),(3)tttttttSsYsIkYYkSI其中s,k为已知常数．(1)式表示t期储蓄依赖于前期的国民收入；(2)式表示t期投资为前两期国民收入差的加速，且预期资本加速系数k为常数；(3)式为均衡条件．经整理后得齐次差分方程YtkskYt1=0，(1144)其通解为Yt=A(1+ks)t，(1145)其中A为任意常数，ks＞0，哈罗德称之为“保证增长率”．其经济意义就是：如果国民收入Yt按保证增长率ks增长，那么就能保证t期储蓄与t期投资达到动态均衡，即It=St,t=0,1,2,…．假定t1期收入Yt1满足于通解(1145)，而t期收入Yt由于某种外部干扰使其不满足于(1145)，而是Yt=A(1+ks)t+B(B≠0,称为外部干扰)，不妨设B＞0，那么有It=k(YtYt1）=k［ksA(1+ks)t1+B］=sA(1+ks)t1＋kB=sYt1+kB=St+kB．因kB＞0,故It＞St．这就表示：总投资将大于总供给(由储蓄提供)，从而对收入产生一个向上的压力，迫使收入较以前增加得更多．这就充分地说明了，“保证增长率”保证了国民收入的增长．五、萨缪尔森(SamuelsonP．A)乘数加速数模型设Yt为t期国民收入，Ct为t期消费，It为t期投资，G为政府支出(各期均相同)．萨缪尔森将乘数和加速数两个参数同时引进而得到国民经济收支均衡模型(也称为乘数加速数模型)：)3(,0),()2(,10,)1(,11kCCkIbbYCGICYtttttttt其中G＞0为常数，b称为边际消费倾向(常数)，k为加速数．将(2)(3)两式代入(1)并经整理后得：Ytb(1+k)Yt1+bkYt2＝G．（1146）这是关于Yt的二阶常系数非齐次线性差分方程．不难求得其特解tY＝bG1．其经济意义为：国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数b11与政府支出自发投资G的乘积．方程(1146)对应的齐次方程为Ytb(1+k)Yt1+bkYt2=0，(1147)其特征方程为λ2b(1+k)λ+bk=0，(1148)特征方程的判别式Δ=b2（1＋k)24bk=b［b(1+k)24k］,当Δ＞0时，(1148)有两相异实根：λ1=21［b(1+k)］,λ2=21［b(1+k)+］.方程(1147)的通解为：YA(t)=A1·λ1t+A2·λ2t(A1,A2为任意常数)．当Δ=0时，(1148)有一对相等实特征根：1(1)2bk，方程（1147）的通解为：12()()tAYtAAt，（A1，A2为任意常数）.当Δ0时，(1148)有一对共轭复根：λ=21[b(1+k)+i],=21[b(1+k)i],方程(1147)的通解为：YＡ(t)=γt(A1cosωt+A2sinωt),A1,A2为任意常数；γ和ω由下式确定),0(,)1(arctan,πkbbk．综合上述，方程(1146)的通解为：,0,1sincos(,0,1)(,0,121212211当当当bGtAtAbGtAAbGAAYttttt，其中Δ=b［b(１＋k)24k］，A1，A2为任意常数，λ1，λ2及λ，γ和ω均如前面所述．若求出Yt,由所给模型就不难确定Ct和It．习题1141．设Yt为t期国民收入，Ct为t期消费，I为投资(各期相同)．卡恩(Kahn)曾提出如下宏观经济模型：1,,01,0,ttttYCICY其中α，β均为常数，试求Yt和Ct．2．设Yt，Ct，It分别表示t期的国民收入、消费和投资，三者之间满足如下关系：,0,,0,10,,1ttttttttIYYYCICY这里α,β,γ均为常数．求Yt,Ct,It.3．设Yt为t期国民收入，St为t期储蓄，It为t期投资，三者之间满足如下关系：,0,,0),(,0,10,1tttttttISYYIYS，这里α，β，γ，δ均为常数，试求Yt,St,It．4．挪威数学家汉逊(Ｈanssen．J．S)研究局部化理论模型遇到如下的差分方程：Dn+2(t)4(ab+1)Dn+1(t)+4a2b2Dn(t)＝０，这里a,b为常数，而Dn(t)为未知函数，若1+2ab＞0,试求方程的解．5．梅茨勒(Ｍetzler．L．A)曾提出如下的库存模型：),(,10,,211ttttttttYYSYUSUY,其中Yt为t期总收入，Ut为t期销售收入，St为t期库存量．α和β为常数．试求Yt，Ut，St关于t的表达式．