带电粒子在磁场中的运动问题专题

2012专题⑺带电粒子在磁场中的运动问题带电粒子在磁场中的运动专题-1-带电粒子在磁场中运动问题专题一、基本公式带电粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力而做匀速圆周运动时，洛伦兹力充当向心力，原始方程：rmvqvB2，推导出的半径公式和周期公式：BqmTBqmvr2,或vrT2。二、基本方法解决带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，物理情景非常简单，难点在准确描绘出带电粒子的运动轨迹。可以说画好了图就是成功的90%。因此基本方法是作图，而作图的关键是找轨迹圆的圆心、轨迹圆的半径、充分利用直线与圆、圆与圆相交（相切）图形的对称性。作图时先画圆心、半径，后画轨迹圆弧。在准确作图的基础上，根据几何关系列方程求解。例1．如图，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30º角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？（不考虑正、负电子间的相互作用）分析：正、负电子的轨道半径和周期相同，只是偏转方向相反。先分析正电子：由左手定则知它的轨迹顺时针，半径与速度垂直，与MN成60º，圆心一定在这条半径上；经过一段劣弧从磁场射出，由对称性，射出时速度方向也与MN成30º角，因此对应的半径也与MN成60º，由这两个半径方向就可以确定圆心O1的位置；射入、射出点和圆心O1恰好组成正三角形。再分析电子：由对称性，电子初速度对应的半径方向与正电子恰好反向，它的射入、射出点和圆心O2组成与ΔO1ON全等的正三角形ΔO2OM，画出这个三角形，最后画出电子的轨迹圆弧。由几何关系不难得出：两个射出点相距2r，经历时间相差2T/3。三、带电粒子射入条形匀强磁场区⑴质量m，电荷量q的带正电粒子，以垂直于边界的速度射入磁感应强度为B，宽度为L的匀强磁场区。讨论各种可能的情况。①速率足够大的能够穿越该磁场区（临界速度对应的半径为L）。需画的辅助线如图中虚线MN、O′M所示。轨迹半径BqmvR，偏转角由RLsin解得；侧移y用勾股定理R2=L2+(R-y)2解出；经历时间由t=θm/Bq计算。②速率v较小的未能穿越磁场区，而是从入射边射出。根据对称性，粒子在磁场中的轨迹一定是半圆，如图中虚线所示，该半径的最大值为磁场宽度L。无论半径多大，只要从入射边射出，粒子在磁场中经历的时间都一定相同，均为T/2。⑵质量m，电荷量q的带正电粒子，以与边界夹角为θ的速度射入磁感应强度为B，宽度为L的匀强磁场区。为使粒子不能穿越该磁场区，求速度的取值范围。画出与初速度对应的半径方向，该射线上有且仅有一个点O′到O和磁场上边界等距离，O′就是该临界圆弧的圆心，R满足R(1+cosθ)=L。与R对应的速度就是临界速度，速度比它小的都不能穿越该磁场。轨迹对应的圆心角均为2(π-θ)，在磁场中经历的时间均为t=2(π-θ)m/Bq。⑶质量m，电荷量q的带正电粒子，以与边界成任意角度的相同速率射入磁感应强度为B，宽度为L的匀强磁场区。为使所有粒子都不能穿越该磁场，求粒子的最大速度。OBvMNOMNBvO2O1vyvLO′BROMNθyvLO′BROMNθθv2012专题⑺带电粒子在磁场中的运动问题带电粒子在磁场中的运动专题-2-速率相同的条件下，最容易穿越磁场的是沿磁场下边界向左射入的粒子，如果它对应的半径r=L/2（对应的轨迹圆弧如图中实线所示）将恰好到达磁场上边界，那么沿其他方向射入磁场的粒子必然不能穿越该磁场。如果以垂直于下边界的速度射入的粒子恰好到达磁场上边界，对应的半径r′=L（其轨迹圆弧如图中虚线所示），那么入射方向比它偏左的粒子将穿越磁场。四、带电粒子射入圆形匀强磁场区⑴质量m，电荷量q的带正电粒子，沿半径方向射入磁感应强度为B半径为r的圆形匀强磁场区。磁场区边界和粒子轨迹都是圆，由两圆相交图形的对称性知：沿半径方向射入的粒子，必然沿半径延长线方向射出。需画的辅助线有轨道半径、与射入、射出点对应的磁场圆半径，两轨道半径的交点就是轨道圆的圆心O′，画出两圆的连心线OO′。偏角θ可由Rr2tan求出。粒子在磁场中经历时间由t=θm/Bq计算。⑵质量m，电荷量q的带正电粒子，以速度v沿与磁场的水平直径MN平行的方向射入磁感应强度为B半径为r的圆形匀强磁场区，已知rqBmv，为使粒子在磁场中经历的时间最长，入射点P到MN的距离应是多少？设粒子在磁场中轨迹弧长为l，粒子运动经历的时间t=θm/Bq∝θ，θ=l/R∝l，由于轨道半径R大于磁场半径r，粒子在磁场中的轨迹是劣弧，在同圆中，劣弧越长对应的公共弦也越长。因此射入、射出点的连线应是磁场圆的直径。做出辅助线如图，Rr2sinsin，P到MN的距离h=rsinα可求。⑶一束水平向右发射的平行带正电粒子束射向圆形匀强磁场区，若粒子在磁场中的轨道半径恰好等于磁场圆的半径，试证明所有进入磁场的粒子将从同一点射出圆形磁场区，并确定该点的位置。证明：以任意一个入射点P1为例，设轨道圆圆心为O1，射出点为Q1，磁场圆和轨道圆的半径均为r，由已知，O1P1=O1Q1=OP1=OQ1=r，由几何知识，四边形O1P1OQ1为菱形。P1O1是洛伦兹力方向，跟初速度方向垂直，菱形的对边平行，因此OQ1也跟初速度方向垂直，Q1是圆周的最高点。反之也可以证明：只要粒子在磁场中的轨道半径恰好等于磁场圆的半径，那么从磁场圆周上同一点沿各个方向射入圆形磁场的粒子，射出后一定形成宽度为磁场圆直径的平行粒子束。五、带电粒子以同样的水平分速度射入匀强磁场区如图所示，平行板P、Q关于x轴对称放置，两板间接有正弦交变电压，y轴右侧有方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从P、Q左侧中点S向右连接发射初速度相同的带正电粒子。不考虑粒子间相互作用，每个粒子穿越极板过程时间极短，可认为电压恒定。试证明：所有粒子从y轴进入、穿出磁场的两点间距离相等。证明：设粒子射入磁场的速度为v，与水平方向夹角为θ，无论两板间电压多大，都有v0=vcosθ，射入、穿出点间距离BqmvBqmvd02cos2与偏转电压高低无关。vLBOvrvvO´OvPQBθθrvvO´OvPQBθθRαMNP1OvBO1rvrvQ1P2O2xOBPQv0yvv0rθθvyMNS2012专题⑺带电粒子在磁场中的运动问题带电粒子在磁场中的运动专题-3-六、练习题1．空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不计重力。下列说法正确的是A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹可能不同C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大2．一个质量为m，电荷量为q的带电粒子从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60º的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求磁感应强度B和射出点S的坐标。3．一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30º，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。4．如图所示，半径为R的圆形区域内存在着磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子（不计重力）沿水平方向以速度v正对着磁场圆的圆心O入射，通过磁场区域后速度方向偏转了60º角。求：⑴该粒子的比荷q/m；⑵该粒子在磁场中的运动时间；⑶若入射方向仍然沿水平方向，为使粒子通过该磁场区域后速度方向的偏转角最大，粒子的入射点向上平移的距离d是多少？OxyPOL30ºvvBROyxvvPBSOa2012专题⑺带电粒子在磁场中的运动问题带电粒子在磁场中的运动专题-4-5．如图所示，在x-O-y坐标系中，以（r，0）为圆心、r为半径的圆形区域内存在匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。在yr的足够大的区域内，存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E。从O点以相同速率向不同方向发射质子，质子的运动轨迹均在纸面内，且质子在磁场中运动的轨迹半径也为r。已知质子的电荷量为q，质量为m，不计质子所受重力及质子间相互作用力的影响。⑴求质子射入磁场时速度的大小；⑵若质子沿x轴正方向射入磁场，求质子从O点进入磁场到第二次离开磁场经历的时间；⑶若质子沿与x轴正方向成夹角θ的方向从O点射入第一象限的磁场中，求质子在磁场中运动的总时间。6．如图所示，平面上有半径分别为R1、R2的两个同心圆，圆心为O。小圆内和两圆之间均有垂直于该平面的匀强磁场，两部分磁场的磁感应强度都为B，方向如图。小圆边界上的A点有一个电荷量为+q，质量为m的带电粒子，沿OA延长线方向射出。粒子只受磁场力作用。⑴若R2足够大，粒子运动过程第二次进入小圆的位置恰好是A点，求该带点粒子的速率v；⑵上一问中的R2至少是R1的多少倍？粒子从A点射出到回到A点经历的时间t是多少？⑶为使粒子在磁场中运动过程中，粒子所处位置与圆心O连线顺时针旋转一周时恰好能回到A，求该带点粒子速率的所有可能值。OAR1vR2xyOEBrr2012专题⑺带电粒子在磁场中的运动问题带电粒子在磁场中的运动专题-5-练习题答案1．D2．aqmvB23，（0，a3）3．qLmvB3，33LR4．⑴BRvmq33⑵vRt3π3⑶Rd335．⑴mqBrv⑵21ttt=qBm+EBr2⑶t总=qBmT2(示意图如右。无论θ取何值，从磁场边缘A射出时必然沿y轴正向，在电场中往返后，又从A沿y轴负向返回磁场，从C射出。从几何关系可以判定，图中O2OO1A和O3CO1A都是边长为r的菱形，因此OA弧和OC弧对应的圆心角∠O2和∠O3之和为180º，质子在磁场中经历的总时间是半周期。)6．⑴mBqRv13（提示：轨迹如下左图。轨道半径13Rr）⑵R2=(2+3)R1，T=Bqm311（提示：如下左图R2=(2+3)R1，总时间是一又六分之五周期。）⑶v=nmBqRtan1（n=3，4，5……）（提示：只要小圆圆周被n等分，就能回到A点。如右下图所示，nn22，对应的轨道半径nRrtan1）AvOOAvθxOByAO2O3O1Cvθ