常微分方程参考答案A

1广东商学院试题参考答案及评分标准2008-2009学年第二学期课程名称常微分方程（A卷）课程代码108023课程负责人黄辉共3页---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题（每空3分，共15分）。1．三，线性；2．;xNyM3．xxndsssfy0;))(,(104．;,xxee5．yxdtdyyxdtdx二、选择题（每题3分，共15分）1.A2.C3.B4.A5．C三、计算题（每题9分，共54分）。1．解：原方程是一阶线性微分方程，此时22)(,2)(xxexqxxp-----------------2分则原方程的通解为：xdxxdxxecdxexey22]2[2--------5分=2]2[xecxdx--------------------------7分=2)(2xecx------------------------------9分2．解：因为,1,122yxNyyM故方程是恰当方程-----2分故0)1(1cos2dxyxdxydyyxdx---------3分即0||lnsin2yxdyydxydxd-------------6分或0)||ln(sinyxyxd------------------------8分于是通解为：Cyxyx||lnsin------------------------9分3．解：由公式xxnndsssfyx0;))(,()(10-----------------------2分--2得2121)0(0))(,()(2120010xdssdsssfyxxxx-------------6分3011201614121])2121([0))(,()(5321221020xxxxdsssdsssfyxxxx------------------9分4．解：其特征方程为0322------------------------------1分特征根为：3,121-----------------------------------------3分故对应得齐次方程的通解xxececty321)(为-----------------------------5分又13)(xxf，假设特解形式为BAxxy)(~----------------------6分代入方程得到31,1BA故通解为：31)(321xecectyxx----------------------------------------9分5.解：0543421)det(2AE-------------2分得5,121------------------3分设,111v对应的特征向量为由0,11,0442211vv得----------------------5分取21,1121vv同理取--------------7分所以为基解矩阵tttteeeet552)(。----------9分6．解：函数24),(yxyxV关于方程组得全导数公式为dtdyyVdtdxxVdtdV-----------------------------------------3分3代入方程组得到66533344)22(2)(4yxyxyxyxdtdyyVdtdxxVdtdV-----8分由判定定理可以得到方程组得零解是不稳定的。--------------------9分四、应用题（10分）。解：首先建立曲线)(xfy满足的微分方程，由题意知：)(xfy满足1)'()''(22xyyyyxy------------------------------------------5分引入参数求解得到方程的通解为cxcysintan---------------------8分包络线为13232yx为所求的一条曲线。-------------------------------10分四、证明题（6分）。证明：因为tttttteeteeteet22222220)21(20)(')(2012t----------------------------3分又0|)(|4tet，故是基解矩阵。-----------------6分教师（签名）：武秀丽2009年5月14日