常微分方程知识点

第一章绪论什么是线性微分方程：形如)()()()(y1)1(1)(xfyxayxayxannnn的微分方程，即y及y的各阶导数都是一次有理整式，即不含y及y的各阶导数的乘积的微分方程叫：线性微分方程。第二章一阶微分方程的初等解法§2.1变量分离方程1、形式：)()(yxfdxdy做题步骤：①0)(y可将方程改写为：dxxfydy)()(，这样对两边积分：cdxxfydy)()(，得出方程的通解，但c要保证积分式有意义②0)(y时，求出0yy也是方程的解2、yxPdxdy)(得dxxPcey)((2.4)而0y也是方程的解，而若(2.4)允许c=0，则y=0也在(2.4)中，故(2.4)是原方程的通解，其中c=0。3、齐次方程：)(xygdxdy(2.5)做变量变换xyu，即uxy，则udxduxdxdy，整理后为：xuugdxdu)(，即为变量分离方程。同时要注意：将一个方程转化为齐次方程求解时，两个方程是否同解（c的范围是否相同）4、222111cybxacybxadxdy(2.13)做题步骤：①kccbbaa212121（常数），通解：ckxy(c为任意常数)②212121cckbbaa，令ybxau22，有212222cuckubadxdybadxdu，为变量分离方程③2121bbaa，如果没有常数21cc、，则很容易变成齐次方程做，（体会：）让分子分母都为零，则为两条曲线00222111cybxacybxa(2.14)，两条曲线相交的交点为),(，而没有那两个常数时方程为都过原点的形式，因此过原点的这两直线可视为原坐标系平移后原直线在新坐标系下的坐标，令yYxX，(2.14)变为002211YbXaYbXa，从而(2.13)变为)(2211XYgYbXaYbXadXdY，§2.2线性微分方程与常数变易法1、)()(xQyxPdxdy(2.28)做题步骤：①考虑yxPdxdy)(，求出它的通解为：dxxPcey)(；②常数变易变为：dxxPexcy)()((2.29)③求微分得：dxxPdxxPexPxcedxxdcdxdy)()()()()((2.30)，④将(2.29)和(2.30)代入(2.28)，得到：dxxPexQdxxdc)()()(，⑤积分后得到cdxexQxcdxxP)()()(，于是得到方程(2.28)的通解为：))(()()(cdxexQeydxxPdxxP2、伯努利微分方程nyxQyxPdxdy)()(做题步骤：①两边同除以ny，得到)()(1xQxPydxdyynn，②设nyz1，得dxdyyndxdzn)1(③于是原方程变为：)()1()()1(xQnzxPndxdz，即为线性微分方程§2.3恰当微分方程与积分因子1、恰当方程形式：0),(),(dyyxNdxyxM（M、N在已知区域上连续且具有一阶连续偏导数）推理过程：①若已知此微分方程是恰当方程能推出什么？先设原函数为),(yxuyxuyNxyuyM22、由条件得：yxuxyu22即xNyM②那么反过来若由它俩相等能否推出方程是恰当方程？从xuM出发，两边同时求积分：xuMdxu+c，但c若是常数那么？则应为：)(yMdxdxxuu③对u关于y求偏导：),()(yxNyMdxyyu，如何证明等式左边等于右边（方程有意义），即右边也与x无关即只与y有关？对右边关于x求偏导0yMxNdxyMxxN（因为证充分，则yMxN为已知）④两端积分：dyMdxyNy)()(，于是)(dyyMNMdxu做题步骤：①先设u(x,y)，②证明xNyM，③从M出发对方程两端同时求积分得)(),(),(ydxyxMyxu，④对u求偏导：),()(yxNyMdxyyu，⑤两边积分得dydxyMNy)()(，⑥得dydxyMNMdxu)(