常微分方程知识点介绍整理人王浩

专转本专题知识点----------常微分方程若py，则dxdppy；若xyu，则dxduxudxdy。一阶微分方程及其解法其一般形式为：),(yxFy可分离变量的方程化为形如g(y)dy=f(x)dx,即dxxfdyyg)()(，得到CxFyG)()(一阶线性微分方程形如)()(xQyxPdxdy，其中)(xQ为自由项１）若)(xQ＝０，为一阶线性齐次微分方程，其通解为dxxPCey)(２）若)(xQ０，为一阶线性非齐次微分方程，其通解为dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([可降阶的高阶微分方程的情况有１）)()(xfyn型的微分方程２）),(yxfy型的微分方程：设py，则py３）),(yyfy型的微分方程：设py，则dxdppy二阶常系数齐次线性方程的解法一般形式为0qyypy，形如02qprr。特征方程的根21,rr方程0qyypy的通解两个不相等的实数根21,rrxrxreCeCy2121两个相等的实数根rrr21rxrxxeCeCy21一对共轭虚根ir)sincos(21xCxCeyx二阶常系数非齐次线性方程的解法一般形式为：)(xfqyypy，其通解为*yYy，其中Y是特征方程的通解，而*y为方程的特解。１．)()(xPexfmx，其特解可设为*y＝xmkexQx)(，xxxeAxyAxeyAeyk2***,2,1,,0可设是特征重根，可设是特征单根，可设不是特征根２．）（或者xxPexfxxPexfmxmxsin)()(cos)()(，其中,为实数，)(xPm为ｍ次多项式此时，可以令i，仍然用上述方法解题