常微分方程第4章答案

习题4—11．求解下列微分方程1）22242xpxpy)(dxdyp解利用微分法得0)1)(2(dxdppx当10dpdx时，得pxc从而可得原方程的以P为参数的参数形式通解22242yppxxpxc或消参数P，得通解)2(2122xcxcy当20xp时，则消去P，得特解2xy2）2()ypxlnxxp；dxdyp解利用微分法得(2)0dplnxxpxpdx当0pdxdpx时，得cpx从而可得原方程以p为参数的参数形式通解：2()ypxlnxppxc或消p得通解2yClnxC当20lnxxp时，消去p得特解21()4ylnx3）21ppxycxdyp解利用微分法，得xdxppp2211两边积分得cxPPP2211由此得原方程以P为参数形式的通解：21(ppxy，.11222cxppp或消去P得通解222)(CCXy1．用参数法求解下列微分方程1）45222dxdyy解将方程化为221542dxdyy令2sinyt2cos5dytdx由此可推出1515(2sin)22cos2cos5dxdydtdttt从而得ctx25因此方程的通解为52xtc，2sinyt消去参数t，得通解22sin()5yxC对于方程除了上述通解，还有2y，0dxdy，显然2y和2y是方程的两个解。2）223()1dyxdx解：令uxcsc，udxdycot31又令tan2ut则ttux21sin12duuuudy322sincos31cot31dtttttt22222123121131dtttt)12(3413积分得，22111(2ln)2243yttct2211(4ln)83ttCt由此得微分方程的通解为ttx212，2211(4ln)83yttct3）dxdydxdyx4)(33解：令xtdxdy则txtxx23334解得314ttx又333223332)1()21(16)1()21(414tttttttdtdxdxdydtdyduuutudttt333333)1(21316)1()621(3162331(332)1(16uduudu228321(1)31yCuu3238321(1)31Ctt由此得微分方程的通解为314ttx，3238321(1)31yCtt。习题4—21．得用P—判别式求下列方程的奇解：2）2)(dxdyxydxdy解：方程的P—判别式为2,20yxppxp消去p，得42xy经验证可知42xy是方程的解。令2),,(pxpypyxF则有2'(,,)142yxxFx，2(,,)242ppxxFx和2'(,,)042pxxFx因此，由定理4.2可知，241xy是方程的奇解。2）2)(2dxdydxdyxy解：方程的P—判别式为22pxpy，0px消去P，得2xy，而2xy不是方程的解，故2xy不是方程的奇解。3）yqdxdyy4)()1(22解：方程的P—判别式为94)1(22py，0)1(22py消去P，得0y，显然0y是方程的解，令ypypyxF94)1(),,(22则有'4(,0,0)9yFx(,0,0)2ppFx和'(,0,0)0pFx因此，由定理4.2知，0y是方程的奇解。2．举例说明，在定理4.2的条件''(,(),())0yFxxxxx'(,(),())0ppFxxxxx中的两个不等式是缺一不可的，解：考虑方程0)(22ydxdy方程（1）的P—判别式为022yp02p消去P，得0)(xxy令22),,(yppyxF，于是有'(,,)2pFxypy'(,,)2pFxypp(,,)2ppFxyp因此虽然有(,,)20ppFxyp和'(,0,0)0pFx但是'(,0,0)0yFx又0y虽然是方程的解，且容易求出方程（1）的通解为xyxe因此容易验证0y却不是奇解。因此由此例可看出。定理4.2中的条件''((),())0yFxxxx是不可缺少的。又考虑方程ydxdyy)sin(方程（2）的P—判别式为yyp)sin(()0ycosyp消去P，得0y。令yyppyxF)sin(),,(于是有'(,,)()1yFxyppcosyp，'(,,)()pFxypycosyp2(,,)sin()ppFxypyyp因此，虽然有'(,0,0)10yFx和'(,0,0)0pFx但(,0,0)0ppFx，而经检验知0y是方程（2）的解，但不是奇解。因此由此例可看出定理4.2中的条件'(,(),())0ppFxxxxx是不可缺少的。3．研究下面的例子，说明定理4.2的条件''(,(),())0pFxxxxx是不可缺少的''312()3yxyy解：方程的P—判别式为3312ppxy012p消去P，得322xy检验知322xy不是解，故不是奇解，而322xy虽然是解，但不是奇解。令3312),,(ppxypyxF'(,,)1yFxyp，'2(,,)1pFxypp(,,)2ppFxypp，所以虽有'2(,2,2)103yFxx2(,2,2)403ppFxx但是'2(,2,2)303pFxx因此此例说明定理4.2的条件''(,(),()0pFxxxxx是不可缺少的。习题4——31．试求克莱罗方程的通解及其包络解：克莱罗方程)(pfxpy)(dxdyp（1）其中()0fp。对方程（1）求导值0))('(dxdppfx由0dxdp即cp时代入（1）得（1）的通解)(cfcxy（2）它的C—判别式为0)(')(cfxcfcxy由此得:'())()xfcc，'()()()ycfcfcc令(,,)()Vxyccxfcy故'((),(),)xVcccc'((),(),)1yvccc所以''(,)(0,0)xyVV又('(),'())((),())(0,0)ccfccfc（由于0)(cf）因此满足定理4.5相应的非蜕化性条件。故是积分曲线族（2）的一支包络。课外补充1．求下列给定曲线族的包络。1）4)()(22cycx解：由相应的C—判别式22(,,)()()40Vxycxcyc(,,)2()2()0cVxycxcyc消去C得C—判别曲线8)(2yx它的两支曲线的参数表示式为1：cx2，cy22：cx2，cy2对1，我们有('(),'())(1,1)(0,0)cc'((),(),)2(2)22xVccccc'((),(),)2(2)22yVccccc∴''(((),(),),((),(),))(0,0)xyVcccvVccc因此1满足定理4.5的相应的非蜕化条件，同理可证，2也满足定理4.5的相应的非蜕化条件，故1，2是曲线族的两支包络线。2．cycx4)(22解：由相应的C—判别式22(,,)()40Vxycxcyc(,,)2()40cVxycxc消去C得C—判别曲线)1(42xy它的两支曲线的参数表示式为1:2xc，12cy2:2xc，12cy对1，我们有1('(),'())(1,)(0,0)1ccc''(((),(),),((),(),))(4,41)(0.0)xyVcccvVcccc因此1满足定理4.5的相应的非蜕化条件，同理可证，2也满足定理4.5的相应的非蜕化条件，故1，2是曲线族的两支包络线。3.证：就克莱罗方程来说，P—判别曲线和方程通解的C—判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解。证：已知克莱罗方程的形式为)(pfxpy)0)(,(pfdxdyp（1）（1）的通解为)(cfcxy（2）（2）的包络由)(cfcxy0)('cfx确定，即为)('cfy)()('cfccfy（3）又知方程（1）还有解0)('pfx)(pfxpy由此得)('pfx，)()('pfcpfy（4）而（4）是方程（1）的P—判别曲线，它和（3）有相同的形式，因而同样是通解（2）的包络，消去P得方程（1）的奇解。