常微分方程试卷(A)参考答案及评分标准

第1页共2页广西师范大学漓江学院试卷参考答案及评分标准（2009—2010学年第二学期）课程名称：常微分方程课程序号：开课系：理学系命题教师：陈迪三命题时间：2010年5月30日年级、专业：08数学考试时间：120分钟试卷类型：A卷■B卷□C卷□考核方式：闭卷■开卷□一、选择题（每小题3分，5×3=15分）：(1)：B(2)：C(3)：B(4)：D(5)：A二、填空题（每小题3分，5×3=15分）：(1)：()MNyxxN(2)：12[(),(),,()]0nwxtxtxt(3)：]2,2[(4)：y=0y+dxyxfxx0),((5)：)0()(1t三、计算题本(大题共4小题，共26分):1、解d2dd0xxyxxy两边乘以积分因子31x有………………………（2分）2241d2dd0xyxyxxxx…………………………（2分）得21ycxx（c为任意的常数）...………………………（1分）2、解：齐次方程的特征方程为.1,0222,12i齐次方程的通解为).sincos(21tctcext…………………………(2分)令titexxx)1('22，并求其特解如下：由于i1是一重特征根，故设特解为,)()1(tieBAttx代入原方程比较系第2页共2页.41,4BiA…………………………(2分)所以)].cos(sin)sin[(cos41tttittttext则原方程有特解}Re{x).sin(cos41ttttet…………………………(2分）故原方程的通解为)sincos(21tctcext).sin(cos41ttttet……………………(1分)3、解：令tsetsln,，则).(,22222dsdxdsxdedtxddsdxedtdxss代入原方程得ssexdsdxdsxd2222(I)……………………………….（2分）(I)对应的齐次方程的通解为).sincos(21scscexs1不是特征根，故设特解为seBAsx)(.代入(I)并比较系数得0,1BA.………………………….（2分）从而ssex,则(I)的通解为x)sincos(21scscessse………………………….（2分）故原方程的通解为tttctctxln)lnsinlncos(21…………………………（1分）4、解：将方程改写成(1)1xndynyexdxx对应的齐线性方程的通解为(1)nyCx（C为任意常数）……..……………….(2分)由常数变易法，设非齐线性方程的解为()(1)nyCxx代入方程，得1()xCxec…….(4分)因此，原非齐线性方程的通解为1(1)()nxyxec其中C1为任意的常数…….….(1分）四、解答题(大题共2小题，共24分):1、解：4),(max),(yxfMRyx………………（2分）byyaxx1,100，41),min(Mbah解的存在区间为4110hxxx即4345x.令…………………（3分）第3页共2页0)(00yx3130)(3121xdxxxx……………………（2分）322213741()0()331136318942xxxxdxxxxx……………………（2分）又Lyyf22，误差估计为：241)!1()()(12nnhnMLxx……………………（3分）2、解方程组的特征方程为21232034AE特征根为11，22…………………（2分）11对应的特征向量应满足0014321111ba可解得1,111ba…………………（2分）类似22对应的特征向量分量为222,3ab…………………（2分）所以，原方程组的的基解矩阵为22e2e()e3ettttt…………………（2分）方程满足初始条件1(0)0的解表示为212132()()(0)033tttteettee…………………（2分）五、证明题(大题共2小题，共22分):第4页共2页1、证明设)(1xy，)(2xy是方程的基本解组，则对任意),(x，它们朗斯基行列式在),(上有定义，且0)(xW．…………………（3分）又由刘维尔公式x0d)(0e)()(xsspxWxW，),(0x…………………（3分）x0()d0()()e()xpssWxWxpx…………………（2分）由于0)(0xW，0)(xp，于是对一切),(x，有0)(xW或0)(xW故)(xW是),(上的严格单调函数…………（3分）2、证明：由于t为方程xAx的解矩阵，因此10t是一个可逆矩阵,…………..(2分)所以t10()t也是xAx的基解矩阵，………………..(3分)因为0()tt是基解矩阵,于是令100()()()ttttCC为非奇异的常数矩阵………………..(2分)当0tt时,(0)E,而100()()ttE,得CE………………..(3分)故100()()()tttt.………………..(1分)第5页共2页教研室主任(签字)：系主任(签字)：第6页共2页