常微分方程试卷②

常微分方程试卷②一．填空题（30分）1．)()(xQyxPdxdy称为一阶线性方程，它有积分因子dxxPe)(，其通解为_________。2．函数),(yxf称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果_______。3．若)(x为毕卡逼近序列)(xn的极限，则有)()(xxn______。4．方程22yxdxdy定义在矩形域22,22:yxR上，则经过点（0，0）的解的存在区间是_______。5．函数组ttteee2,,的伏朗斯基行列式为_______。6．若),,2,1)((nitxi为齐线性方程的一个基本解组，)(tx为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为________。7．若)(t是xtAx)('的基解矩阵，则向量函数)(t=_______是)()('tfxtAx的满足初始条件0)(0t的解；向量函数)(t=_____是)()('tfxtAx的满足初始条件)(0t的解。8．若矩阵A具有n个线性无关的特征向量nvvv,,,21，它们对应的特征值分别为n,,21，那么矩阵)(t=______是常系数线性方程组Axx'的一个基解矩阵。9．满足_______的点),(**yx，称为驻定方程组。二．计算题（60分）10．求方程0)1(24322dyyxdxyx的通解。11．求方程0xedxdydxdy的通解。12．求初值问题0)1(22yyxdxdy1,11:yxR的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13．求方程ttxx3sin9''的通解。14．试求方程组)('tfAxx的解).(t1)(,3421,11)0(tetfA15．试求线性方程组52,1972yxdtdyyxdtdx的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。三．证明题（10分）16．如果)(t是Axx'满足初始条件)(0t的解，那么)(exp)(0ttAt常微分方程期终考试试卷答案一．填空题（30分）1．))(()()(cdxexQeydxxPdxxP2．),(yxf在R上连续，存在0L，使2121),(),(yyLyxfyxf，对于任意Ryxyx),(),,(213．1)!1(nnhnML4．4141x5．ttttttttteeeeeeeee222426．)()()(1txtxctxinii7．dssfsttt)()()(10dssfsttttt)()()()()(01018．ntttveveven,,,21219．0),(,0),(yxYyxX二．计算题（60分）10．解：yxxNyxyM226,8yMxNyM21积分因子2121)(yeydyy两边同乘以)(y后方程变为恰当方程：0)1(24321322dyyxydxyx3224yxMxu两边积分得：)(34233yyxu21213'21322)(2yyxNyyxyu得：214)(yy因此方程的通解为：cyxy)3(32111．解：令pydxdy'则0xepp得：pepx那么dpeppdxyp)1(cepeppp22因此方程的通解为：ceppyepxpp)1(2212．解：4),(max),(yxfMRyxbyyaxx1,100，41),min(Mbah解的存在区间为4110hxxx即4345x令0)(00yx3130)(3121xdxxxx4211918633)313(0)(47312322xxxxdxxxxx又Lyyf22误差估计为：241)!1()()(12nnhnMLxx13．解：ii3,309212i3是方程的特征值，设iteBAtttx3)()(得：iteAtBiAitBtAx32)961292(则tBiAitA6122得：361,121BiA因此方程的通解为：tttttctctx3sin3613cos1213sin3cos)(22114．解：0)5)(1(3421)det(AE5,1210)(11vAE得1v取111v0)(22vAE得22v取212v则基解矩阵tttteeeet552)(tttttteeeeeet112121012)0()(55151211035241203)()()(5510tttttteeeedssfst因此方程的通解为：ttdssfsttt0)()()()0()()(115121103524120355tttttteeeeee15．解：3105201972yxyxyx（1，3）是奇点令25,219yYxXYxdtdYyXdtdX2,720230722172，那么由02307221722可得：ii3,321因此（1，3）是稳定中心三．证明题（10分）16．证明：由定理8可知dssfstttttt)()()()()()(0101又因为)exp()(exp)(,exp)(01001AtAttAtt0)(sf所以)exp(exp)(0AtAtt又因为矩阵)()()()(00AtAtAtAt所以)(exp)(0ttAt02412--11章小燕