常微分方程试题

1常微分方程考题一、填空题1．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21xyxy为方程的基本解组充分必要条件是．2．方程02yyy的基本解组是．3．一个不可延展解的存在在区间一定是区间．4．方程21ddyxy的常数解是．5、若()t和()t都是'()xAtx的基解矩阵，则()t和()t具有的关系是_____________________________。6．若)(t是xtAx)('的基解矩阵，则向量函数)(t=_______是)()('tfxtAx的满足初始条件0)(0t的解；向量函数)(t=_____是)()('tfxtAx的满足初始条件)(0t的解。二、单项选择题7．)(yf连续可微是保证方程)(ddyfxy解存在且唯一的（）条件．（A）必要（B）充分（C）充分必要（D）必要非充分8．二阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A）构成一个2维线性空间（B）构成一个3维线性空间（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间9．方程323ddyxy过点(0,0)有（B）．(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解三、计算题求下列方程的通解或通积分：10.yyxylndd11.5ddxyyxy12．0)d(d222yyxxxy13．3)(2yyxy四、计算题14．试求方程组)('tfAxx的解).(t1)(,3421,11)0(tetfA15.求31yxyxdxdy的通解16．求方程255xyy的通解．17．求下列方程组的通解．xtytytxddsin1dd常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）2．xxxe,e3.开4.1y5.()()ttC6.dssfsttt)()()(10dssfsttttt)()()()()(0101二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）7．B8．C9．B三、计算题（每小题６分，本题共30分）10.解：2Cyxdxyd|)ln(ln||))ln(ln(|11．解：方程两端同乘以5y，得xyxyy45dd令zy4，则xzxyydddd45，代入上式，得xzxzdd41这是一阶线形微分方程，对应一阶线形齐次方程的通解为4xzce利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为41e4xCzx因此原方程通解为41e44xCyx12．解：因为xNxyM2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00yx，原方程的通积分为Cyyxxyyx020dd2计算得Cyyx323113．解：原方程是克莱洛方程，通解为32CCxy四、计算题（每小题10分，本题共20分）14.解：0)5)(1(3421)det(AE5,1210)(11vAE得1v取111v0)(22vAE得22v取212v则基解矩阵tttteeeet552)(tttttteeeeeet112121012)0()(55151211035241203)()()(5510tttttteeeedssfst因此方程的通解为：ttdssfsttt0)()()()0()()(1135121103524120355tttttteeeeee15.解方程组0301yxyx,2,1yx得代入方程得令2,1yYxXYXYXdXdYXYXY11得令,XYuuudXduX112将变量分离后得XdXuduu21)1(两边积分得cXuuln)1ln(21arctan2变量还原并整理后得原方程的通解为.)2()1(ln12arctan22cyxxy16．解：对应齐次方程的特征方程为052，特征根为01，52，齐次方程的通解为xCCy521e因为0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为)()(21CBxAxxxy代入原方程，比较系数确定出31A，51B，252C原方程的通解为xxxCCyx2525131e2352117．解：齐次方程的特征方程为21101特征根为i求得特征向量为1i因此齐次方程的通解为ttCttCyxcossinsin-cos21令非齐次方程特解为tttCtttCyxcossin)(sin-cos)(~~21)(),(21tCtC满足0sin1)()(cossinsincos21ttCtCtttt解得1)(,sincos)(21tCtttC积分，得ttCsinln)(1，ttC)(2通解为ttttttttttCttCyxcossinlnsin-sinsinlncoscossinsin-cos21