常微分方程试题库

常微分方程试题库二、计算题（每题6分）1.解方程：0cottanxdyydx；2.解方程：xyxye2dd；3.解方程：；4.解方程：texdtdx23；5.解方程：0)2(dyxeydxeyy；6.解方程：0)ln(3dyxydxxy；7.解方程：0)2()32(3222dyyxxdxyxxy；8.解方程：0485xxxx；9.解方程：02)3()5()7(xxx；10.解方程：02xxx；11.解方程：1,0yxyx；12.解方程：yydxdyln；13.解方程：yxedxdy；14.解方程：02)1(22xyyx；15.解方程：xydxdycos2；16.解方程：dyyxxdxxyy)()(2222；17.解方程：xxydxdy42；18.解方程：23dd；19.解方程：22xyxedxdy；20.解方程：422xyyx；选题说明：每份试卷选2道题为宜。二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分）1.解方程：0cottanxdyydx解：,2,1,0,2,kkxky是原方程的常数解，（2分）当2,kxky时，原方程可化为：0cossinsincosdxxxdyyy，（2分）积分得原方程的通解为：Cxycossin.（2分）2.解方程：xyxye2dd解：由一阶线性方程的通解公式),)(()()(dxexfCeydxxpdxxp（2分）xxxxdxxdxeCedxeCedxeeCe31)()(23222分）（分）（223.解方程：解：由一阶线性方程的通解公式))(()()(dxexfCeydxxpdxxp（2分）)sec(tantandxxeCexdxxdx（2分）)sec(cos2xdxCxxxCsincos.（2分）4.解方程：texdtdx23解：由一阶线性方程的通解公式))(()()(dtetfCexdttpdttp（2分）)(323dteeCedttdt（2分）)(53dteCetttteCe2351.（2分）5.解方程：0)2(dyxeydxeyy解：原方程可化为：02yyxdeydydxe，（2分）即0)(2yxedy，（2分）原方程的通解为：Cyxey2.（2分）6.解方程：0)ln(3dyxydxxy解：原方程可化为：0ln)(ln3xdydyyxyd，（2分）即0)41ln(4yxyd，（2分）原方程的通解为：Cyxy441ln.（2分）7.解方程：0)2()32(3222dyyxxdxyxxy解：因为xNxxyM62，所以原方程为全微分方程，（2分）由02323222ydyxdyxdxyxxydx，（1分）得:0)()(232yxdyxd，（2分）故原方程的通解为：Cyxyx232.（1分）8.解方程：0485xxxx解：其特征方程为：0)2)(1(485223，（1分）特征根为2为2重根，1.（2分）所以其基本解组为：tttetee,,22，（2分）原方程的通解为：ttteCteCeCx32221.（1分）9.解方程：02)3()5()7(xxx解：其特征方程为：0)1()1(2223357，（1分）特征根为：0为3重根，1，为2重根，1为2重根.（2分）所以其基本解组为：2,1tt，ttttteetee,,,，（2分）原方程的通解为：ttttteCeCteCeCtCtCCx76542321.（1分）10.解方程：02xxx解：其特征方程为：0)22)(1(2223，（1分）特征根为：i11321，，.（2分）所以其实基本解组为：teteetttsin,cos,，（2分）原方程的通解为：teCteCeCytttsincos321.（1分）11.解方程：1,0yxyx；解：原方程可化为：21,21yx，（2分）积分得通解为：212,2ctyctx.（4分）12.解方程：yydxdyln解：原方程可化为：0ln1dxdyyy，（3分）积分得原方程的通解为：Cyxlnln.（3分）13.解方程：yxedxdy解：原方程可化为：dxedyexy，（3分）积分得原方程的通解为：cxy.（3分）14.解方程：02)1(22xyyx解：0y是原方程的常数解，（1分）当0y时，原方程可化为：012122dxxxdyy，（2分）积分得原方程的通解为：cxy1ln21.（3分）15.解方程：xydxdycos2解：0y是原方程的常数解，（1分）当0y时，原方程可化为：xdxdyycos12，（2分）积分得原方程的通解为：xcysin1.（3分）16.解方程：dyyxxdxxyy)()(2222解：0y，0x是原方程的常数解，（1分）当,0x0y时，原方程可化为：dxxxdyyy)11()11(22，（2分）积分得原方程的通解为：cxxyy11lnln.（3分）17.解方程：xxydxdy42解：分析可知2y是其特解.（2分）对应齐方程的02xydxdy通解为：2xcey，（2分）故原方程的通解为：22xcey.（2分）18.解方程：23dd解：分析可知32是其特解.（2分）对应齐方程03dd的通解为：3ce，（2分）故原方程的通解为：323ce.（2分）19.解方程：22xyxedxdy解：原方程可化为：dxxedyexy22，（3分）积分得原方程的通解为：ceexy22.（3分）20.解方程：422xyyx解：分析可知4xy是其特解.（2分）又对应齐方程02yyx的通解为：2cxy，（2分）故原方程的通解为：42xcxy.（2分）