学年论文逆矩阵的几种求法与解析

1逆矩阵的几种求法与解析王红斌指导教师:袁晓红(河西学院数学与应用数学专业2012级3班32号,甘肃张掖734000)摘要矩阵在线性代数中有很重要的地位,矩阵理论具有十分丰富的内容,它是学习数学与其他学科的基础,为了更便捷地解决矩阵的逆,本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法.主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法,并对部分进行了简要论证.关键词逆矩阵;分块矩阵;初等变换;伴随矩阵中图分类号O151.21SeveralwaysofsolutionandanalysisofInverseMatrixWangHongbinInstructorYuanXiaohong(No.32class3of2012,SpecialtyofMathematicsandAppliedMathematics,HeXiUniversity,Zhangye,Gansu734000)Abstract:Inordertosolvetheinversematrixmoreconvenient,Thispaperaccordingtothedifferentcharacteristicsofdifferentmatrixwhichsimplyintroducedseveralmethods,therearedefinitionmethod,adjointmatrixmethod,elementarytransformationmethod,aswellasabriefargumentationonitpartly.Keywords:Inversematrix;Partitionedmatrix;Elementarytransformation;Adjointmatrix1引言矩阵是高等代数的主要研究对象之一,在自然科学、工程技术乃至社会科学中均广泛应用.而矩阵的逆矩阵在矩阵理论中又有着重要地位,由于其解法灵活,综合性较强,能力要求较高,解决这类问题,要掌握各数学分支知识,并能综合运用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法.在数学上,灵活运用从特殊到一般的思想,可以使很多难以解释的问题得到很好的解决.关于矩阵的逆,在高等代数和线性代数的学习中就有了一定的认识,如何求逆矩阵一直是研究者探讨的问题.本文重点总结了常见的几种求逆矩阵的方法,并对其原理和应用范围进行简单的说明.不同矩阵的逆矩阵可用不同的方法来求,从而达到简便易求的目的.22预备知识2.1几个定义定义1[1]设A是一个n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得ABBAE,则称矩阵A是可逆矩阵,并称B是A的逆矩阵.定义2[4]通常用若干条纵线和横线将矩阵A分成许多小矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.例如11122122702010141500506AAAAA,其中四个分块分别是117001A,12203415A,21=0,0A,225,0,6A.定义3[9]下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)对调矩阵的两行(对调,ij两行,记为ijrr);(2)以数0k乘某一行中的所有元素(第i行乘k,记为irk);(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去(第j行的k倍加到第i行上,记为ijrkr).把定义中的“行”换成“列”,即得到矩阵的初等列变换的定义(所用记号是把“r”换成“c”).矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.2.2几个定理定理1[4]n阶矩阵ijaA为可逆的充分必要条件是A非奇异.且1121111222212......1...............nnnnnnAAAAAAAAAAA,3其中ijA是A中元素ija的代数余子式.矩阵112111222212.....................nnnnnnAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵,记作*A,于是有1*1AAA.定理2[6]如果n阶矩阵1112111222120=000nnnnnntttttttTt可逆,那么它的逆矩阵是111111121211111111112221212200000nnnnnnnnttatatattataT,其中111111,2,,1iiiiiiattin,111,2,,2,3,4,,ijjjjjkjikkkikjattattinjn.3求逆矩阵的几种方法3.1用定义法求逆矩阵例1[8]求证如果方阵A满足=0KA,那么EA是可逆矩阵,且121KEAEAAA.证明因为E与A可以交换,所以21KKEAEAAAEA,因0KA,于是得21KEAEAAAE,4同理可得21KEAAAEAE,因此EA是可逆矩阵,且121KEAEAAA,同理可以证明EA也可逆,且1121+--1KKEAEAAA.由此可知,只要满足0KA,就可以利用此题求出一类矩阵EA的逆矩阵.例2设0100020000030000A,求EA的逆矩阵.分析由于A中有许多元素为零,考虑KA是否为零矩阵,若为零矩阵,则可以采用例1的方法求EA的逆矩阵.解容易验证20020000600000000A,30006000000000000A,40A而23EAEAAAE,所以1231126012600130001EAEAAA.3.2初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵,特别是在方阵阶数较高时,常用初等变换法.如果A可逆,则A可通过行初等变换,化为单位矩阵I,即存在初等矩阵SPPP,,21使12s=IPPP,(1)用1A右乘上式两端,得112sI=APPP.(2)比较(1)、(2)两式,可看到当A通过行初等变换化为单位矩阵的同时,对单位矩阵I5作同样的初等变换,就化为A的逆矩阵1A.用矩阵表示1AIIA初等行变换,就是求逆矩阵的初等行变换法.例3[5]已知矩阵231013125A,求-1A.解由314|100014|130100|010100|010215|001015|021001|151001|151100|010100|010015|121010|5234100|010010|5234001|151AI，于是1010=5234151A.在事先不知n阶矩阵是否可逆的情况下,也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0,则意味着A不可逆,则说明A不可逆,即0A,则不存在.例4求123456789A的逆矩阵.解123100123100=4560100364107890010612701123100036410000121AI，由于左端矩阵中有一行元素全为0,于是它不可逆,因此A不可逆.6注意:上面是用作行初等变换求逆矩阵;同样只用初等列变换也可以求逆矩阵,但在计算时单位矩阵I不放在A的右边,而是放在A的下面.用矩阵表示:1AIIA初等列变换.就是求逆矩阵的初等列变换法.3.3用伴随矩阵去求逆矩阵用伴随矩阵求逆矩阵法,主要是求出矩阵的行列式以及它的伴随矩阵.例5判断矩阵123221343AA是否可逆?若可逆,求出1A.解因为20A所以A可逆.又1112132122233132332,32,66,2452AAAAAAAAA，，，，，，所以1*26411365222213235=3.22111AAA用此方法求逆矩阵,对于小型矩阵,特别是二阶方阵求逆既方便、快捷,又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵,只需要将主对角线元素的位置互换,次对角线的元素变号即可.3.4分块矩阵求逆矩阵法命题1[5]设,,,ADC分别是mmnnnm，，矩阵,,AD均可逆,则1111100AACDDCAD.7证明由m1n0000EAACAECDD,两边求逆得11m1n00-EACAECD110=0AD,即11m11n0000EAACAECDD=11110ADCAD.同理可求出0,,00ACACADDCD的逆矩阵,故对大型且可划分为以上的分块矩阵.可用此法求逆矩阵.例6[5]设500031021A,求1A.解1250000310021AAA,15A,115A;23121A,121123A;所以111221005011023AAA.命题2设0000ABMECD,其中AE、、D分别为n阶、m阶、s阶方阵,BC、分8别为ns和sn矩阵,设AE、可逆,则M可逆1DCAB可逆.这时1111111111111110000AABDCABCAABDCABMEDCABCADCAB.证明考虑1100000000000000nnmmssIABIABIEICAICDI11100000000000|00|0,00|ABIABEIDCABIAEDCAB故,AB可逆,M可逆1DCAB可逆11111111111111111111100000000000000000000000000000nnmmssnmsIABAIMIEIIDCABCAIAABDCABIEIDCABCAIAABDCABCAABDCABEDC11111.0ABCADCAB例7求矩阵1100112010003000102110011M的逆矩阵.9解分析:这个矩阵经过仔细观察,它正好可以写成命题2中M的形式,故可将M分块为11|0|0112|0|1000|3|0001|0|2110|0|11可以表示为0000ABMECD型.因为11211,,113AE令1211112111221TDCAB可逆,所以也M可逆.并且112552155T,由命题2,得111