常微分方程第二三章考试卷答案

1一、11,1xy2ky，,2,1,0k3,2,1,0k42二解（1）齐次方程的通解为Cxy令非齐次方程的特解为xxCy)(代入原方程，确定出CxxCln)(原方程的通解为Cxy+xxln（2）因为xNxyM1，所以原方程是全微分方程．取)0,1(),(00yx，原方程的通解为Cyyxxyyx031dd即Cyxy441ln（3）当1y时，分离变量得xxyyydd12等式两端积分得12dd1Cxxyyy122211ln21Cxy1222e,e1CxCCy方程的通解为2e12xCy（4）令xuy，则xuxuydd，代入原方程，得2dduuxuxu，2dduxux当0u时，分离变量，再积分，得Cxxuudd2Cxuln1，Cxuln1即：Cxxyln（5）令py，则原方程的参数形式为pyppxln1由基本关系式yxydd，有ppppxyy)d11(dd2pp)d11(积分得Cppyln得原方程参数形式通解为Cppyppxlnln1（6）原方程为恰当导数方程，可改写为0)(yy即Cyy积分得212CxCy（7）令uxy，则xuxuxydddd，代入原方程，得uuxuxutandd，uxuxtandd当0tanu时，分离变量，再积分，得Cxxuulndtand2Cxulnlnsinln（8）由于xNxyM2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00yx，原方程的通积分为Cyxxxyyx00dd)cos2(即Cyxyxsin2（9）原方程可化为0)(2xyy于是12ddCxxyy积分得23123121CxxCy（10）当0y，1y时，分离变量取不定积分，得Cxyyydlnd（11）先解齐次方程，通解为Cxxxyyd1d即xCyxe令非齐次方程的特解为xxCyxe)(代入原方程，求出CxxC3)(原方程的通解为)(e3Cxxyx（12）令py，则221ppx，原方程的参数形式为pyppx221由xyydd，有ppppppy)d221()d2121(d2积分有Cppy241ln21得原方程参数形式通解3Cppyppx241ln21221一、1、4141x2、,3、存在常数L0，使得不等式2121,,yyLyxfyxf4、yxfMMbaRyx,max,,min,5、hxxdfyxyxxxnn001000,,061!1nnhnML7,2121xxNxfxf其中N1二、解：yxfMRyx,max,4141,1min,minMbah又Lyyfyyf22,2，由!12141!12*4!111nnhnMLxxnnnnnn，所以010，1313121xdxxxxxdxxxx12322191=11819163131473xxxx。