常见离散型随机变量的分布

新乡医学院教案首页单位：计算机教研室课程名称医药数理统计方法授课题目2.1常见离散型随机变量的分布授课对象05级药学专业时间分配超几何分布15分钟二项分布35分钟泊松分布30分钟课时目标理解掌握常见离散型随机变量的分布函数掌握两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别授课重点伯努利试验、二项分布、泊松分布授课难点两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别授课形式小班理论课授课方法启发讲解参考文献医药数理统计方法刘定远主编人民卫生出版社概率论与数理统计刘卫江主编清华大学出版社北京交通大学出版社高等数学(第五版)同济大学编高等教育出版社思考题二项分布和超几何分布有何联系？教研室主任及课程负责人签字教研室主任（签字）课程负责人（签字）年月日年月日1新乡医学院理论课教案基本内容备注常见离散型随机变量的分布一、超几何分布例1带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只作实验，表示X放出的蜂中工蜂的只数，求X的分布列。解X012345P052010530CCC142010530CCC232010530CCC322010530CCC412010530CCC502010530CCC定义1若随机变量X的概率函数为{}0,1,2,,knkMNMnNCCPXkklC其中N≥M0,n≤N-M,l=min(M,n),则称X服从参数为N,M,n的超几何分布，记作X~H(N,M,n).超几何分布的分布函数为()knkMNMnkxNCCFxC二、二项分布1.Bernoulli试验只有两个可能结果的试验称为Bernoulli试验。例2已知某药有效率为0.7，今用该药试治某病3例，X表示治疗无效的人数，求X的分布列。解：X可取0，1，2，3。用Ai表示事件“第i例治疗无效”,i=1,2,3.则()0.7iPApP{X=0}=33123123()()()()(1)0.343PAAAPAPAPApqP{X=1}=231312123()PAAAAAAAAA2231312123()()()30.441PAAAPAAAPAAApqP{X=2}=321121323()PAAAAAAAAA2321121323()()()30.189PAAAPAAAPAAApq2新乡医学院理论课教案基本内容备注P{X=3}=3123()0.027PAAAp所以X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027定义：设试验E只有两种结果：A与A，且(),()1(01).PApPApp将试验E独立重复地进行n次，称这样的试验为n重贝努利试验。以X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数,则X是一个随机变量。下面来求它的分布律。为了直观起见，先考虑n=4的情况,即求P{X=k}，k=0,1,2,3,4.23410:,kAAAA41234{0}()(1-)PXPAAAAp。32341k1:AAAAp(1-p),31342AAAAp(1-p),3312412334AAAAp(1-p),AAAAp(1-p)。14141p(1p)P{X}C。3412241234AAAA2:AAAAkC共有个，22424P{X2}(1).Cpp，故归纳44P{Xk}(1),k0,1,2,3,4.kkkCpp可得：n重Bernoulli试验的分布规律定理1设在一次试验中，事件A发生的概率为p(0p1)，则在n次独立重复的试验中，事件A发生k次的概率为()(1)0,1,,kknknnPkCppkn2.二项分布定义若随机变量X的概率函数为()(1)0,1,,kknknPXkCppkn则称X服从参数为n,p的二项分布，记作X~B(n.,p).定义如果随机变量X的分布列为011pp，则称X服从参数为p3新乡医学院理论课教案基本内容备注的两点分布（或0－1分布）。注：(1)在n重Bernoulli试验中，X表示事件A发生k次,单次试验n=1时，X服从两点分布；n≥2时，X服从二项分布.（2）若Xi(i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立，则1niiXX服从二项分布。抽检时，若总体数量有限，二项分布适用于有放回抽取的情况；而超几何分布适用于有放回抽取的情况；若总体数量充分大，超几何分布可按二项分布近似处理。例3据报道，有10%的人对某药有胃肠道反应。为考察某厂的产品质量，现任选5人服用此药。试求（1）k人有反应的概率（k=0,1,2,3,4,5）；（2）不多于2个人有反应的概率；(3)有人有反应的概率。解（1）用X表示有反应的人数，则X服从二项分布B(5,0.10).因为55{}(0.10)(0.90)kkkPXkC，所以X的分布列为0123450.590490.328050.072900.008100.000450.00001（2）不多于2个人有反应的概率为{2}.PX{2}{0}{1}{2}PXPXPXPX0.590490.328050.072900.99144（3）有人有反应的概率为{1}.PX51{1}{}0.328050.07290kPXPXk0.008100.000450.000010.40951或{1}1{0}10.590490.40951PXPX例4.某人进行射击,每次命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率。解：将每次射击看成一次试验，设400次射击中击中的次数为X,则X~B(400,0.02)。X的分布列为4新乡医学院理论课教案基本内容备注k400400P{Xk}C(0.02)(0.98),k0,1,...,400.kk则{2}1-{0}-{1}PXPXPX4003991-(0.98)-400(0.02)(0.98).注：当n较大,p又较小时,二项分布的计算比较困难,例如0.98400，0.02400,…,可以用近似计算。三、泊松(Poisson)分布定义若随机变量X的概率函数为{}(0),0,1,2,...!kePXkkk则称X服从参数为λ的Poisson分布，记作X~π（λ）。注：k000(1)P{Xk}1.!!kkkkeeeekk(2)泊松分布的应用很广泛。例如,在一个时间间隔内电话寻呼台收到的呼叫次数；一本书的印刷错误数；某一地区一段时间间隔内发生的交通事故数等等都服从泊松分布。(一些稀疏现象)(3)二项分布与泊松分布之间的关系由下面的泊松定理给出。泊松(Poisson)定理设0是一个常数，n是任意正整数，又设nnp，则对于任一固定的非负整数k，有lim(1).!kkknknnnneCppk证明：由/,npn得(1)...(1)11!knknkkknnnnnnkCppknn121111111!nkkkknnnnn对于任意固定的k，当n时，有5新乡医学院理论课教案基本内容备注12111111knnn，1,nen11kn，故有(1).!limkkknknnnneCppk注：1.当n很大而p较小时，有knC1,.!knkkeppnpk其中在实际计算时，只要20,0.05np时，即可用此近似计算公式。2.该定理说明，在适当的条件下,二项分布的极限分布是泊松分布。例4.某人进行射击,每次命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率。（另解）~(400,0.02),XB知np4000.028,84004008{}(0.02)(0.98)!kkkkePXkCk018888{2}1{0}{1}10.997.0!1!PXPXPXee例5.假如生三胞胎的概率为10-4，求105次分娩中，有0，1，2次生三胞胎的概率。解由题意知，105次分娩中出现三胞胎次数X~B(105，10-4).55441010{}(10)(110)kkkPXkC因为n很大，p很小，所以可用Poisson分布作近似计算。54101010,np551044101010{}(10)(110)!kkkkePXkCk所以010510{0}4.540100!ePX6新乡医学院理论课教案基本内容备注110410{1}4.540101!ePX210310{2}2.270102!ePX本次课小结：介绍了伯努利试验和几种常见的离散型随机变量的分布，其中最主要的是二项分布。