学案15导数的综合应用

学案15导数的综合应用导学目标：1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题．自主梳理1．函数的最值(1)函数f(x)在[a，b]上必有最值的条件如果函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上________，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________；②将函数y＝f(x)的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．自我检测1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A．0≤a1B．0a1C．－1a1D．0a122．(2011·汕头月考)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)2f(1)4．(2011·新乡模拟)函数f(x)＝12ex(sinx＋cosx)在区间0，π2上的值域为______________．5．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．探究点一求含参数的函数的最值例1已知函数f(x)＝x2e－ax(a0)，求函数在[1,2]上的最大值．变式迁移1设a0，函数f(x)＝alnxx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[a,2a]上的最小值．探究点二用导数证明不等式例2(2011·张家口模拟)已知f(x)＝12x2－alnx(a∈R)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x1时，12x2＋lnx23x3.变式迁移2(2010·安徽)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.探究点三实际生活中的优化问题例3(2011·孝感月考)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．变式迁移3甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2000t.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)．(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？转化与化归思想的应用例(12分)(2010·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.(1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；(2)证明：(x－1)f(x)≥0.【答题模板】(1)解∵f′(x)＝x＋1x＋lnx－1＝lnx＋1x，x0，∴xf′(x)＝xlnx＋1.由xf′(x)≤x2＋ax＋1，得a≥lnx－x，令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝1x－1，[2分]当0x1时，g′(x)0；当x1时，g′(x)0，[4分]∴x＝1是最大值点，g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1，∴a的取值范围为[－1，＋∞)．[6分](2)证明由(1)知g(x)＝lnx－x≤g(1)＝－1，∴lnx－x＋1≤0.(注：充分利用(1)是快速解决(2)的关键．)[8分]当0x1时，x－10，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋lnx－x＋1≤0，∴(x－1)f(x)≥0.当x≥1时，x－10，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝lnx＋xlnx－x＋1＝lnx－xln1x－1x＋1≥0，∴(x－1)f(x)≥0.[11分]综上，(x－1)f(x)≥0.[12分]【突破思维障碍】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想．通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题．1．求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围．若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；(4)回到实际问题，作出解答．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·皖南模拟)已知曲线C：y＝2x2－x3，点P(0，－4)，直线l过点P且与曲线C相切于点Q，则点Q的横坐标为()A．－1B．1C．－2D．22．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是()4．函数f(x)＝－x3＋x2＋tx＋t在(－1,1)上是增函数，则t的取值范围是()A．t5B．t5C．t≥5D．t≤55．(2011·沧州模拟)若函数f(x)＝sinxx，且0x1x21，设a＝sinx1x1，b＝sinx2x2，则a，b的大小关系是()A．abB．abC．a＝bD．a、b的大小不能确定题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)7．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为_____________________________________________________________m3.8．若函数f(x)＝4xx2＋1在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则实数m的取值范围为________．三、解答题(共38分)9．(12分)已知函数f(x)＝12(1＋x)2－ln(1＋x)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若x∈[1e－1，e－1]时，f(x)m恒成立，求m的取值范围．10．(12分)(2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．11．(14分)设函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋bx，函数f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上，且在此点有公共切线．(1)求a、b的值；(2)对任意x0，试比较f(x)与g(x)的大小．答案自主梳理1．(1)连续(2)①极值②端点值自我检测1．B2.D3.C4.12，12eπ25.6课堂活动区例1解题导引求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般方法是令f′(x)＝0，求出x值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具体情况．解∵f(x)＝x2e－ax(a0)，∴f′(x)＝2xe－ax＋x2·(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．令f′(x)0，即e－ax(－ax2＋2x)0，得0x2a.∴f(x)在(－∞，0)，2a，＋∞上是减函数，在0，2a上是增函数．①当02a1，即a2时，f(x)在[1,2]上是减函数，∴f(x)max＝f(1)＝e－a.②当1≤2a≤2，即1≤a≤2时，f(x)在1，2a上是增函数，在2a，2上是减函数，∴f(x)max＝f2a＝4a－2e－2.③当2a2，即0a1时，f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝4e－2a.综上所述，当0a1时，f(x)的最大值为4e－2a；当1≤a≤2时，f(x)的最大值为4a－2e－2；当a2时，f(x)的最大值为e－a.变式迁移1解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a·1－lnxx2(a0)，由f′(x)＝a·1－lnxx20，得0xe；由f′(x)0，得xe.故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．(2)∵f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[a,2a]上的最小值[f(x)]min＝min{f(a)，f(2a)}．∵f(a)－f(2a)＝12lna2，∴当0a≤2时，[f(x)]min＝lna；当a2时，[f(x)]min＝ln2a2.例2解题导引利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题．(1)解f′(x)＝x－ax＝x2－ax(x0)，若a≤0时，f′(x)0恒成立，∴函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．若a0时，令f′(x)0，得xa，∴函数f(x)的单调增区间为(a，＋∞)，减区间为(0，a)．(2)证明设F(x)＝23x3－(12x2＋lnx)，故F′(x)＝2x2－x－1x.∴F′(x)＝x－12x2＋x＋1x.∵x1，∴F′(x)0.∴F(x)在(1，＋∞)上为增函数．又F(x)在(1，＋∞)上连续，F(1)＝160，∴F(x)16在(1，＋∞)上恒成立．∴F(x)0.∴当x1时，12x2＋lnx23x3.变式迁移2(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当aln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)0.于是对任意x∈R，都有g′(x)0，所以g(x)在R内单调递增，于是当aln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)0，即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋1.例3解(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11]．(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(