平移对称在几何证明中的应用

MGFEDCBAOABCDE平移、对称在几何证明中的应用板块一：平移在几何证明中的妙用例1在正方形ABCD中，AB、BC、CD三边上分别有点E、G、F，且EFDG．求证：EFDG．ABCDEFG【答案】证明：过C作CM⊥DG，交AB于M∵EF⊥DG∴CM∥EF∵四边形ABCD为正方形∴AB∥CD，BC=CD，∠B=∠DCG=90°∴四边形EMCF为平行四边形∴CM=EF∵∠BMC+∠BCM=90°=∠DGC+∠BCM∴∠BMC=∠CGD在△BMC和△CGD中BMCCGDBGCDBCCD∴△BMC≌△CGD（AAS）∴CM=DG=EF例2线段AB＝CD＝1，且AB、CD相交于点O，∠AOC＝60°．求证：AC＋BD≥1．【答案】证明：过C作CE∥DB且使CE=DB，连结BE、AE则四边形CDBE为平行四边形∴BE∥CD，BE=CD∵AB＝CD＝1，∠AOC＝60°∴AB=BE=1，∠ABE=60°∴△ABE为等边三角形，AE=AB=1∴AC+BD=AC+CE，AC+CE≥AE即AC+BD≥1例3如图，长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，纵向阴影部分是平行四边形，根据图中的标注的数据，求空白部分的面积．【答案】解：法1：2Sacbcc阴影，则空白部分的面积为22()abSabacbccabacbcc阴影法2：图中“底为c高为b的平行四边形”的面积和“底为c高为b的矩形”的面积相等，因此可以转化为“底为c高为b的平行四边形”，因此空白部分的面积为2()()acbcabacbcc法3：将左侧的两个直角梯形向右平移距离c，根据平行四边形的性质能和右侧拼成上下两个矩形；上面的矩形向下平移距离c组成了一个矩形，空白部分的面积为2()()acbcabacbcc练习：如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修2m宽的两条不规则的路，余下的部分作为耕地，请你利用平移知识求出图中白色部分的面积.ccbaFEPA'北东B小屋牧童A小河PBANMA'【答案】解：如下图所示将图形分成矩形小块，利用平移的知识最终将空白部分转化为长、宽分别为30m和18m的矩形，则空白部分的面积为30×18=540（㎡）板块二：奶站问题导入：在直线MN上找一点P，使得在直线同侧的点A、B到P的距离之和AP＋BP最短。BANM【答案】作点A关于MN的对称点A'，连结A'B与MN交于点P，则点P为符合题意的点！例4如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？【答案】解：作点A关于小河南岸的对称点A'，连结A'B与小河南岸交于点P，则点P为符合题意的点，此时BP+AP的长最短！由题意可知：AA'=2AE=8km，FA'=15km，FB=8km在Rt△A'BF中，'2281517BABPAP∴最短路径为17km例5如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3，BE=1,P为AC上的动点，则PB+PE的最小值是？AB小河东北牧童小屋PEABCDDCBAEPl1l2OPP1P2ABPEABCD【答案】解：连结DP如右上图∵四边形ABCD为正方形∴点B和点D关于对角线AC对称∴BP=PD，要使PE+PB最小只需PE+PD的和最小如右下图，连结DE交AC于点P，此时PE+PB的最小∵AE=3，BE=1∴AD=AB=4在Rt△ADE中22345DEBPEP∴PB+PE的最小值为5例6如图，直线l1、l2交于点O，P是两直线间的一点，在直线l1、l2上分别找一点A、B，使得△PAB的周长最短。【答案】解：分别作点P关于直线l1、l2的对称点P1、P2，连结P1、P2交l1、l2于A、B两点，此时△PAB的周长最短。练习如图，直线l1、l2交于O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从P点到l2上一点Q，再回到B点，求作P、Q两点，使AP＋PQ＋QB最小.【答案】解：分别作点A关于直线l1的对称点A'，点B关于直线l2的对称点B'，连结A'、B'交l1、l2于P、Q两点，此时AP＋PQ＋QB最小。QPB'A'OBAl1l2例7在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，在AC上找点M，在AB上找点N，使得BM＋MN＋NC最短，并求出最短值.NMABC【答案】解：分别作点B关于AC的对称点B'，点C关于AB的对称点C'，CBAMNB'C'FEA甲(C)乙(D)BPB'ABQlA'连结C'、B'交AC、AB于M、N两点，此时BM＋MN＋NC最小且最小值为B'C'的长度。连结AB'、CB'，∵△ABC为等腰直角三角形，B'为B关于AC的对称点∴AB'=AB=BC=CB'∵∠ABC=90°∴四边形ABCB'为正方形∴CB'=4，∠BCB'=90°∵C'为C关于AB的对称点∴BC'=BC=4在Rt△B'CC'中，22''4845BCBMMNCN∴BM＋MN＋NC的最小值为45板块三：天桥问题例8如图，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥.问：桥修建在何处才能使由甲到乙的路线最短？注意，桥必须与街道垂直.乙甲【答案】过甲单位所在的C点作CA平行于街道EF，且CA=EF，连结AD交街道南侧于点B如图所示，在点B处建过街天桥能使从甲到乙的路线最短。例9如图，A、B是直线l同侧的两点，定长线段PQ在l上平行移动，问PQ移动到什么位置时，能使AP+PQ+QB的长最短？lQPBA【答案】过B作BB'∥PQ且BB'=PQ，作点A关于直线l的对称点A'，连结A'B'交直线l于点P，定长线段PQ也整体移动到此位置，此时AP+PQ+QB最短。例10如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM的最小值为13时，求正方形的边长.EADBCCNMNMCBEADCBEADMGF【答案】证明：（1）∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN∴BM=BN，∠MBN=60°∵△ABE为等边三角形∴AB=AE，∠ABE=60°∴∠ABM+∠ABN=60°=∠ABN+∠EBN∴∠ABM=∠EBN在△ABM和△EBN中ABEBABMEBNBMBN∴△ABM≌△EBN（SAS）（2）连结AC交BD于M，此时AM＋CM的值最小；∵BM=BN，∠MBN=60°∴△BMN为等边三角形∴MN=BM∵△ABM≌△EBN∴AM=EN∴AM＋BM＋CM=EN+NM+CM连结CE交BD于M，交BN或其延长线于点G，如右图由（1）可知∠EBG=∠ABM=45°=∠CBM∵EB=BC∴∠BEG=∠BCM在△BEG和△BCM中BEGBCMBEBCEBNCBM∴△BEG≌△BCM（ASA）∴BM=BG，又∵BM=BN∴N与G重合，此时E、N、M、C四点共线EC的长即为AM＋BM＋CM的最小值过E作EF⊥CB交CB的延长线于F设EF=a∵∠EBF=180°-60°-90°=30°∴BE=BC=2a，3BFa∴2222222(13)(23)CEEFCFaa∴22a则正方形的边长为2a等于2.