平面向量在几何中的应用教学设计

2.4.1向量在平面几何中的应用教学设计万顺（高一数学组）一、教学目标1．知识与技能：运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题2．过程与方法：通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法3．情感、态度与价值观：通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。二、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题.难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决.三、教学方法本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。教学中，创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。四、教学内容安排：教学环节教学内容师生互动设计意图复习准备课前复习任务（由学生总结成书面材料）（1）向量的线性运算是怎样的?（2）平面向量共线的含义及条件是什么？（3）平面向量的基本定理及向量的坐标运算有哪些？（4）平面向量的数量积中有哪些主要内容？讨论：（1）若O为ABC重心,则OA+OB+OC=0（2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=12AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?让学生回顾学过的知识有力于本节课的进行新课引入平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行ABCD中，设AB＝a,AD＝b，则ACABBCab（平移），DBABADab，222||ADbAD（长度）．向量AD，AB的夹角为DAB讨论（让学生回顾学过的知识，有利于本课的顺利进行）：（１）向量运算与几何中的结论＂若ab，则||||ab，且,ab所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．（3）向量平行、垂直的判定方法让学生掌握用向量方法解平面几何问题的步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量．通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果＂翻译＂成几何关系．应用举例例1：如图2-55，已知平行四边形ABCD中，E、F在对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平行四边形。小结：本题的关键选择适当的基底，把四边形AECF的一组对边表示出来问题1证明AECF是平行四边形的方法有什么？学生思考，回答问题2选择合适的方法，问如何转化为向量条件表示？学生思考，回答，完成证明（选一名学生板书）问题3由学生总结解题方法通过分步设问，引导学生展开思维过程，让学生体会分析、解决问题的方法例2：求证平行四边形对角线互相平分．小结：法一注重向量的坐标运算和解析法的运用：法二选取基底AB和AD，设未知数，列向量方程，解方程组的待定系数得结论，体现了方程思想的运用。问题4如何证明？学生思考，回答老师点评学生思路：要证明两条对角线互相平分，可以证明,AMMCBMMD，或11,22AMACBMBD。前一种方法可以建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示后即可；后一种方法就是课本提供的方法。师生共同讨论交流，由教师给出证明过程本题所用方法比较特殊，学生不易想到，教师在分析学生提供的思路的基础上，点出方法，又不直接说怎么做，引导学生再去探索，让学生体验思路的形成过程，学会分析问题的方法。例3：已知正方形ABCD（图2-57），P为对角线AC上任意一点，PEAB于点E，PFBC于点F，连接DP，EF。求证DPEF。小结：结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。问题5如何证明？能否用坐标法完成？学生思考，回答老师点评学生思路：要证明两条直线（段）互相垂直，可以证明两向量数量积为0。将向量用坐标表示后进行向量的数量积运算即可。师生共同讨论交流，由教师指导学生给出证明过程本题用坐标法。用向量坐标法证明比较简单，可见选定方法是关键，学生可从中体会，形成思维习惯。课堂练习练习1．求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．练习2．如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积猜想：AR、RT、TC之间的关系？利用平面向量基本定理以及向量的运算证明进一步巩固所学知识，归纳方法归纳小结本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题的步骤师生交流共同完成帮助学生总结知识，归纳方法布置作业练习：课本108B组第5题作业：习题学生独立完成巩固所学方法，规范解题步骤