平面向量精选试题

平面向量精选试题1、在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，则=（）A、B、C、D、分析：在矩形ABCD中，=，=，=，由向量加法公式可得答案．解：∵矩形ABCD中，O是对角线的交点，∴==（+）=（+）=（3+5），故选A．2、对于菱形ABCD，给出下列各式：①；②=；③；④+=4||2其中正确的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个分析：由菱形图象可知这两个向量不相等①错误，与两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的模长相等，得到②正确，把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，③正确，有菱形的定义知④正确解答：解：由菱形图象可知①错误，这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的模长相等，得到②正确，把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，③正确，有菱形的定义知④正确故选C．点评：大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．3、在ABCD中，设=，，，，则下列等式中不正确的是（）A、B、C、D、分析：由题意知本题是一个向量加减的运算，根据平行四边形法则和三角形法则知，以同一个顶点为起点的两条边和对角线所成的向量，对角线所在的向量等于两条边所在的向量之和，另一条对角所在的向量等于两条对角线所在的向量之差，注意方向．解答：解：根据向量加法的平行四边形法则知，，，即，得到，故选B．点评：用一组为基底向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题是一个简单的向量加减的问题，是一个基础题．4、已知向量与反向，下列等式中成立的是（）A、=||B、||=||C、||+||=||D、||+||=||分析：由于向量方向相反，那么向量和的模的等于向量模的差的绝对值，向量差的模等于向量模的和，可以找出正确的答案解答：解：由已知：向量与反向，，故选C．点评：本题主要是考查平行向量和共线向量的及相应模的运算．5、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），（1，﹣5），则第四个点的坐标为（）A、（1，5）或（5，﹣5）B、（1，5）或（﹣3，﹣5）C、（5，﹣5）或（﹣3，﹣5）D、（1，5）或（﹣3，﹣5）或（5，﹣5）分析：利用平行四边形的对角线相交且被交点平方；通过对与哪一个点是对顶点分类讨论；利用中点坐标公式求出．解答：解：设第四个顶点为（x，y）当第四个顶点与（﹣1，0）对顶点则x﹣1=4；y=﹣5解得x=5，y=﹣5当第四个顶点与（3，0）为对顶点则x+3=0，y=﹣5解得x=﹣3，y=﹣5当第四个顶点与（1，﹣5）为对顶点则x+1=2；y﹣5=0解得x=1，y=5故选D点评：本题考查平行四边形的对角线相交且平分、考查中点坐标公式．6、与向量=（12，5）平行的单位向量为（）A、B、C、或D、或分析：设出与向量=（12，5）平行的单位向量，求出的模，利用，求出．解答：解：设与向量=（12，5）平行的单位向量，所以=，或故选C．点评：本题考查向量共线，考查学生计算能力，是基础题．7、若||=，||=4，||=5，则与的数量积为（）A、10B、﹣10C、10D、10分析：利用向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方；将已知条件中的三个等式平方求出两个向量的数量积．解答：解：∵∴∵∴∴故选A点评：本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方，利用此性质常解决与向量模有关的问题．8、若将向量围绕原点按逆时针旋转得到向量，则的坐标为（）A、B、C、D、分析：由已知条件知与模相等，夹角为；利用向量的模的坐标公式及向量的数量积公式列出方程组，求出．解答：解：设，据题意知x2+y2=5①，，解①②组成的方程组得，故选B．点评：本题考查向量的模的坐标公式、考查利用向量的数量积公式求向量的夹角．9，设k∈R,下列向量中，与向量a=(1,-1)一定不平行的向量是（）A．b=(k,k)B．c=(-k,-k)C．d=(k2+2,k2+1)D．e=(k2-1,k2-1)C解析：A、B、D都有可能为0，而0∥a,而C中d=(k2+2,k2+1),≠,故d不平行10；已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是()A.e1+e2和e1-e2B.3e1-2e2和4e2-6e1C.e1+2e2和e2+2e1D.e2和e1+e2解析:∵4e1-6e1=-2(3e1-2e2),∴3e1-2e2与4e2-6e1共线,不能为基底.答案:B11、设k∈R，下列向量中，与向量=（1，﹣1）一定不平行的向量是（）A、B、C、D、分析：根据条件中所给的向量的坐标，代入两个向量平行的充要条件进行验证，整理出充要条件是﹣2k2﹣2，一定不等于零，一次得到这两个向量一定不平行．解答：解：∵=﹣（k2+1）﹣（k2+1）=﹣2k2﹣2≤﹣2∴这两个向量一定不平行，故选C．点评：本题考查两个向量平行的充要条件，这个充要条件有两种表示形式，坐标形式是最直接的一种形式，解题时只要进行数字的运算，是一个基础题．12、已知向量||=10，||=12，且=﹣60，则向量与的夹角为（）A、60°B、120°C、135°D、150°分析：利用向量的模、夹角形式的数量积公式，列出方程，求出两个向量的夹角余弦，求出夹角．解答：解：设向量的夹角为θ则有：，所以10×12cosθ=﹣60，解得．∵θ∈[0，180°]所以θ=120°．故选B点评：本题考查利用向量的数量积公式解决两个向量的夹角问题．注意两个向量夹角的范围是[0，π]13、已知||=||=1，•=，则平面向量与夹角的大小为（）A、B、C、D、分析：利用两个向量的数量积的定义求出cos=，从而求得的值．解答：解：由两个向量的数量积的定义可得•==1×1×cos，∴cos=，由于的范围为[0，π]，∴=，故选：C．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题．14、已知向量||=||=，|+|=，则向量、夹角为（）A、B、C、D、分析：设向量、夹角为θ，根据条件可得=2+2××cosθ+2=6，解得cosθ=，可得θ的值．解答：解：设向量、夹角为θ，∵向量||=||=，|+|=，∴=2+2××cosθ+2=6，解得cosθ=，∴θ=，故选D．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，求得cosθ=，是解题的关键．15、已知，且，则向量与向量的夹角是（）A、30°B、45°C、90°D、135°分析：欲求向量与向量的夹角，根据题目所给条件有：以及求出所求角的余弦值，再根据余弦值即可求出向量之间的夹角．解答：解：，所以1﹣1××cos＜＞=0，解得cos＜＞=，即＜＞=45°，故选B．点评：本题考查数量积表示两个向量的夹角和数量积的相关运算．16、在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则等于（）A、B、C、D、分析：先用向量加法的平行四边形法则化简，再用三角形重心的性质：重心分中线为求值．解答：解：设AB的中点为F∵点M是△ABC的重心∴．故选C点评：考查向量在几何中的应用、向量加法法则及三角形重心的性质：重心分中线为，属于基础题．17、（2010•重庆）已知向量a，b满足a•b=0，|a|=1，|b|=2，，则|2a﹣b|=（）A、0B、C、4D、8分析：利用题中条件，把所求|2|平方再开方即可解答：解：∵=0，||=1，||=2，∴|2|====2故选B．点评：本题考查向量模的求法，考查计算能力，是基础题．18、已知向量、满足，且，则=（）A、10B、20C、21D、30分析：先根据，两边平方得到；再结合响亮的模长计算公式，把其放到根号内先平方，再开方即可得到结论．解答：解：因为，所以：⇒．∴||====10．故选：A．点评：本题主要考查向量的模长计算．解决问题的关键在于根据，两边平方得到．19、已知向量，满足=（2，0），．△ABC，=2+2，﹣6，D为BC边的中点，则=（）A、2B、4C、6D、8分析：表示出，代入向量，，然后求出，即可．解答：解：因为D为BC边的中点，所以=（）=2﹣2=（1，﹣）=故选A．点评：本题考查平面向量的坐标运算，向量的模，考查计算能力，是基础题．20、已知，则向量与向量的夹角是．分析：据题意可得，∴=进一步利用向量夹角的范围求出夹角．解答：解：设的夹角为θ则∵即∵，∴∴=∵θ∈[0，π]∴故答案为：点评：解决向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式进行解决．但要注意向量夹角的范围．21、已知向量m与n满足|m|=1，|n|=2，且m⊥（m+n），则向量m与n的夹角为120°．分析：设的夹角为θ，由⊥（），可得•（）=0，解出cosθ的值，根据θ的范围，求出θ的值．解答：解：设的夹角为θ，∵⊥（），∴•（）=+=1+1×2cosθ=0，∴cosθ=﹣．又0≤θ＜π，∴θ=120°，故答案为：120°．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求出cosθ=﹣，是解题的关键．22、已知向量、的夹角为60°，，则=．分析：由已知中向量、的夹角为60°，，我们易计算出2，2及•的值，进而计算出2，开方后即可得到．解答：解：∵向量、的夹角为60°，，∴2=4，2=9，•=3∵2=42+2﹣4•=13∴=故答案为：点评：本题考查的知识点是向量的模，其中根据已知计算出2的值，是解答本题的关键．23、已知||=10，||=12，且（3）•（）=﹣36，则、的夹角为120°．分析：由已知中（3）•（）=﹣36，我们易得到•的值，再结合||=10，||=12，代入即可得到向量、的夹角解答：解：∵（3）•（）=•=﹣36，∴•=﹣60又∵||=10，||=12∴==﹣又∵0°≤θ≤180°∴θ=120°故答案为：120°点评：求出两个向量的夹角θ时，是向量中求夹角的唯一公式，要求大家熟练掌握．24、已知向量满足且∥，则实数m=±．分析：由，可得=cosθsinθ+=0，求得sin2θ的值；据∥，得到2×=m（sinθ+cosθ），求出m2的值，即可得到m的值．解答：解：∵，∴=cosθsinθ+=0，∴sin2θ=﹣．∵∥，=（sinθ+cosθ，），∴2×=m（sinθ+cosθ），∴=m2（1+sin2θ），∴m2=，m=±，故答案为：±．点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直、平行的性质，求出sin2θ=﹣，是解题的关键．25、已知平面上的向量、满足，=2，设向量，则的最小值是2．分析：利用勾股定理判断出PA，与PB垂直，得到它们的数量积为0；求的平方，求出范围．解答：解：，∴∴=0∴=3≥4∴故答案为2．点评：本题考查勾股定理、向量垂直的充要条件、向量模的性质：模的平方等于向量的平方．26（2011•安徽）已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，||=1，||=2，则与的夹角为60°．分析：由已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，||=1，||=2，我们易求出•的值，代入cosθ=，即可求出与的夹角．解答：解：∵（+2）•（﹣）=2﹣22+•=1﹣8+•=﹣6∴•=1∴cosθ==又∵0°≤θ≤90°∴θ=60°故答案为60°或者．点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中求夹角的公式cosθ=要熟练掌握．27、已知||=1，||=2，与的夹角为．（Ⅰ）求•；（Ⅱ）向量+λ与向量λ﹣的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．分析：求出两个向量的数量积；由向量的数量积公式将两个向量所成的角为钝角转化为数量积小于0且不为反向．解答：解：（Ⅰ）==2x1x=1．（Ⅱ）（+）•（λ﹣）=λ2+（λ2﹣1）•﹣λ2=λ+λ2﹣1﹣4λ=λ2﹣3λ﹣1．因为+λ与向量λ﹣的夹角为钝角的夹角为钝角，所以（）＜0，令λ2﹣3λ﹣1＜0，得．28、已知|p|=2，|q|=3，向量p与q的夹角为，求以向量a=5p+2q，b=p﹣3q为邻边的平行四边形两条对角线之长．分析：以，为邻边作平行四