年中北大学大学生数学建模试题

A题原油开采与输送问题某炼油厂有四口自备油井，为了满足炼油厂的需要，炼油厂一方面计划再打一些油井，另一方面从外部购买部分原油。该炼油厂现有的四口油井经过多年使用后，年产油量也在逐渐减少，在表1中给出它们在近9年来的产油量粗略统计数字。表1现有各油井在近几年的产油量（万吨）根据专家研究和预测，拟计划打的8口油井基本情况如下：表2打井费用（万元）和当年产油量（万吨）编号12345678打井费用57546553当年产油2536321531282212每口油井的年产油量还会以平均每年10%左右的速率减少炼油厂与附近一个油田的输油管道距离20公里，铺设管道的费用为LQP51.066.0（万元），其中Q表示每年的可供油量（万吨/年），L表示管道长度（公里）。铺设管道从开工到完成需要三年时间，且每年投资铺设管道的费用为万元的整数倍。要求完成之后，每年能够通过管道至少提供100万吨油。炼油厂从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于打井和铺设管道，为了保证从2012至2016年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨油，请作出一个从2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省。年份产油量编号2003200420052006200720082009201020111号井32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号井21.515.911.88.76.54.83.52.62.03号井27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号井46.232.626.723.020.018.917.516.31、建立灰色模型为了确定总开支数，我们先对原四个油井未来五年的出原油量作出预测，这里我们建立灰色预测模型。1.1GM（1,1）模型原理简述灰色系统理论是中国学者邓聚龙教授创立的，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。它以部分信息一致而部分信息未知的小样本、贫信息不确定性系统为研究对象，通过对部分已知信息的生成、开发，提取有价值信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。对于环境空气污染物分析和预测，只需要研究一个变量，即GM(1,1)模型，它表示含有一个变量、一阶方程的预测模型，是较常用的一种灰色模型。其建模思想是：将原始信息数据序列通过一定的数学方法进行处理，通常采用累加或累减生成方法，转化为微分方程来描述系统的客观规律，即灰色系统的白化。GM(1,1)为单序列的一阶线性动态模型，其离散时间响应函数呈近似指数分布。1.2建立GM(1,1)模型GM(1,1)模型建立过程（1）对数据序列)0(x(0)(0)(0)((1),(2),,())xxxn，作1次累加生成得到,)(,,)2(),1()1()1()1()1(nxxxx（2）构造累加矩阵B与常数项向量NY，即B=1(N)x1)-(N(x21-1(3))x(2)(x21-1(2)x(1)21-(1)(1)(1)(1)(1)(1)）（xTNNxxxY)](,),3(),2([)0()0()0(（3）采用最小二乘法解灰色参数^a=NTTTYBBBua1)(][(4)将灰色参数带入时间函数aueauxtxar])1([)1()0()1(^（5）对)1(X求导还原得到areauxatx])]1([)1()0()1(^（6）计算)()0(tx与)()0(^tx之差）（）（t0及相对误差)(te)()()()0(^)0(0txtxt）（)()()()0()0(txtte（7）模型诊断及应用模型进行预报为了分析模型的可靠性，必须对模型进行诊断。目前较通用的诊断方法，是对模型进行后验差检验，即先计算观察数据离差1s及残差的离差2s再计算后验比c及小误差概率p。2)0()0(121)]()([txtxsmt112)0()0(22)]()([11mtttms21ssc1)0()0(674.0|)()(|sttp根据后验比c和小误差概率p对模型进行诊断，当95.0p和35.0c时，模型可靠，这时可根据模型对系统为进行预测。灰色模型预测精度等级见表1.表1灰色模型预测精度等级精度预测等级好合格勉强不合格p95.095.00.80p80.00.7p7.0pc35.050.00.35c65.00.50c65.0c上述7步为整个建模、预测的分析过程。当所建立的模型残差较大、精度不够理想时，为提高精度，一般可以对其残差进行残差GM（1,1）模型建模分析，已修正预报模型。对原四个油井未来出原油量运用灰色预测进行预测，近几年出原油量如下表：井出原油数年份2003200420052006200720082009201020111号井32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号井21.515.911.88.76.54.83.52.623号井27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号井46.232.626.7232018.917.516.3表2原四个油井年出原油量（单位：吨）由表2数据运用Matlab绘制出原四个油井年出原油量与年份的拟合、插值以及拟合与差值关系曲线图，进行对比比较。图1.原四个油井近几年出原油数曲线图由其复相关系数9977.01R,9959.02R,9999.03R,9692.04R。说明拟合效果很好。灰色预测时间函数为：原一号井：449655.743)*044961.0exp(249655.711)1(kkx原二号井：854919.82)*297855.0exp(354919.61)1(kkx原三号井：40628.179)*133488.0exp(80628.157)1(kkx原四号井：728.325)*068633.0exp(728.302)1(kkx相对误差%517.01，%9018.02，%686.13，%374.04由相对误差均小于3%，可得，可以用灰色模型对原四个油井未来五年出原油进行预测，通过计算与Matlab软件求解，可以计算预测出2012-2016年初原油数。如下表：井出原油数年份201220132014201520161号井21.8220.8619.9519.0718.232号井1.461.080.80.50.43号井10.128.857.756.785.934号井15.2614.2513.3012.4211.60合计48.6645.0441.838.7736.16表32012-2016年原四个油井预测值通过对未来五年的原四个油井的出原油数预测数据分析，可以看出，在接下来的几年里原2号油井的储油量接近为零，从工厂的效益来看，可以考虑不不再从原2号油井出原油。由于2010—2012年必须完成打井和铺设输油管道的任务，这就说明，从2012年后炼油厂的产油量年年减少，故只要2016年满足能获得至少190万吨油就能保证2012到2015年每年分别至少获得150、160、170、180万吨油。由于原油价格近几年波动很大，所以尽可能自给自足以减少开支，但是题目要求管道铺好之后每年能够通过管道至少提供100万吨油，所以假设2012年之后每一年都从油田购买原油100万吨。具体方法如下：1、2012年之后每年都从油田购买原油100万吨。2、只在2012年打井3、2016年能至少获得190万吨原油。2016年获得的原油Q=2016年原i号井产油之和+100万吨+打井后产油量由表三得到2016年原i号井产油之和16'Q=iiQ141=48.66万吨故打井后产油量iQ2'至少为16.36100190万吨，即53.84万吨由表2（如下）可以看出如果产油量大致相同，打一个井比打两个井省钱，如打新2号井当年产油36万吨，打井费用为7万元，7号井和8号井当年产油量之和为34万吨但是打井费用合起来为8万吨，故只打新2号井比打7、8号井合适。表2打井费用（万元）和当年产油量（万吨）现在只需要要求在2012年打的井到2016年产油量之和至少为53.84万吨。由题意知新打的井产油量以每年10%下降，可预测新打的井2012到2018年的产油量如下表：编号12345678打井费用57546553当年产油253632153128221220122013201420152016201720181号井2522.520.2518.22516.402514.7622513.2860252号井3632.429.1626.24423.619621.2576419.1318763号井3228.825.9223.32820.995218.8956817.0061124号井1513.512.1510.9359.84158.857357.9716155号井3127.925.1122.59920.339118.3051916.4746716号井2825.222.6820.41218.370816.5337214.8803487号井2219.817.8216.03814.434212.9907811.6917028号井1210.89.728.7487.87327.085886.377292合计201180.9162.81146.529131.8761118.68849106.819641打井满足条件：1、到2016年产油量之和至少53.84万吨2、打井费用尽量少由lingo软件可以算出在2012年打井1、3、6号井即可满足以上条件。运行结果如下图所示：则可得2012年产油量=148.66+25+32+28=233.662013年产油量=145.04+22.5+28.8+25.2=221.542014年产油量=141.8+20.25+25.92+22.68=210.652015年产油量=138.77+18.225+23.328+20.412=200.7352016年产油量=136.16+16.4025+20.9952+18.3708=191.9285总费用W=0.66*51.0100*20+5+5+5=153.2210万元由于题目要求铺设管道和打井的每年费用为整数，故总费用也应该为整数，但是算出的费用不为整，所以应该进行修正.题中打井的费用为整，故只需铺设管道的费用为整即可，由题知，铺设管道的费用公式为LQP51.066.0,由于Q为定值，故铺设管道的总费用为51.02.13QP两边分别取对数，即QllPlnnn51.02.13整理反解得51.02.13nnlPleQ由上边经验大致可以确定Q的范围在132万吨左右，经计算P=140时，Q=102.5393P=139时，Q=101.1081P=138时，Q=99....故取P=139万元，Q=101.1081万吨此时总费用W=139+5+5+5=154万元，即为开支最小。