年中考专题复习一元二次方程及应用(含答案)

2013年中考数学专题复习第八讲：一元二次方程及应用【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最方程2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是，是常数项【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠o这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果aX2=b则X2=X1=X2=2、配方法：解法步骤：1、化二次项系数为即方程两边都二次项系数2、移项：把项移到方程的边3、配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式4、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程3、公式法：如果方程aX2+bx+c=0(a±0)满足b2-4ac≥0，则方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式式，如果左边分解因式，即产生A.B=0的形式，则可将原方程化为两个方程，即从而方程的两根【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是法和法】三、一元二次方程根的判别式关于X的一元二次方程aX2+bx+c=0(a±0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号表示①当时，方程有两个不等的实数根②当时，方程看两个相等的实数根③当时，方程没有实数根【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】一、一元二次方程根与系数的关系：关于X的一元二次方程aX2+bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1X2则X1+X2=X2=二、一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行常见题型1、增长率问题：连续两率增长或降低的百分数Xa（1+X）2=b方程有两个实数跟，则2、利润问题：总利润=X或利润—3、几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】【重点考点例析】考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等）例1（2012•兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+21x=0B．ax2+bx+c=0C．（x-1）（x+2）=1D．3x2-2xy-5y2=0思路分析：一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解：A、原方程为分式方程；故本选项错误；B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C、由原方程，得x2+x-3=0，符合一元二次方程的要求；故本选项正确；D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．对应训练1．（2012•惠山区）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a=．1．1解：∵一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，∴a+1≠0且a2-1=0，∴a=1．故答案为1．点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．考点二：一元二次方程的解法例2（2012•安徽）解方程：x2-2x=2x+1．思路分析：先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．解：∵x2-2x=2x+1，∴x2-4x=1，∴x2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，∴x-2=±5，∴x1=2+5，x2=2-5．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．例3（2012•黔西南州）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2-10x+21=0的解，则第三边的长为（）A．7B．3C．7或3D．无法确定思路分析：将已知的方程x2-10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长．解：x2-10x+21=0，因式分解得：（x-3）（x-7）=0，解得：x1=3，x2=7，∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的解，∴三角形的第三边为3或7，当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，则第三边的长为7．故选A点评：此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解．对应训练2．（2012•台湾）若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a-b之值为何？（）A．-57B．63C．179D．1812．D2．解：x2-2x-3599=0，移项得：x2-2x=3599，x2-2x+1=3599+1，即（x-1）2=3600，x-1=60，x-1=-60，解得：x=61，x=-59，∵一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，∴a=61，b=-59，∴2a-b=2×61-（-59）=181，故选D．3．（2012•南充）方程x（x-2）+x-2=0的解是（）A．2B．-2，1C．-1D．2，-13．D考点三：根的判别式的运用例3（2012•襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2-21kx+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜12B．k＜12且k≠0C．-12≤k＜12D．-12≤k＜12且k≠0思路分析：根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1-4k＞0，∴-12≤k＜12且k≠0．故选D．点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△=b2-4ac．一元二次方程根的情况与判别式△的关系为：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．例4（2012•绵阳）已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．思路分析：（1）根据关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；再根据三角形的周长公式进行计算．解：（1）证明：∵△=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4≥4，即△≥4，∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）根据题意，得12-1×（m+2）+（2m-1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：10；该直角三角形的周长为1+3+10=4+10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；则该直角三角形的周长为1+3+210=4+210．点评：本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想．对应训练3．（2012•桂林）关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k＜-1D．k＞-13．A．4．（2012•珠海）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=-3时，求方程的根．4．解：（1）∵当m=3时，△=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，∴原方程无实数根；（2）当m=-3时，原方程变为x2+2x-3=0，∵（x-1）（x+3）=0，∴x-1=0，x+3=0，∴x1=1，x2=-3．考点四：一元二次方程的应用例5（2012•南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）思路分析：（1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27-0.1×2，即可得出答案；（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论得出即可．解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27-0.1×2=26.8，故答案为：26.8；（2）设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：28-[27-0.1（x-1）]=（0.1x+0.9）（万元），当0≤x≤10，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+0.5x=12，整理，得x2+14x-120=0，解这个方程，得x1=-20（不合题意，舍去），x2=6，当x＞10时，根据题意，得x•（0.1x+0.9）+x=12，整理，得x2+19x-120=0，解这个方程，得x1=-24（不合题意，舍去），x2=5，因为5＜10，所以x2=5舍去，答：需要售出6部汽车．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键．对应训练5．（2012•乐山）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．5．解（1）设平均每次下调的百分率为x．由题意，得5（1-x）2=3.2．解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下调的百分率是20%．（2）小华选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元），方案二所需费用为：