年中考数学第一轮复习导学案一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

-1-一元二次方程根的判别式及根与系数的关系◆【课前热身】1.方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为______，其中a=____，b=____，c=____．2.关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．3.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是______．4.关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（）A．1B．3C．－3D．±35.若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（）A．1B．2C．1或2D．0【参考答案】1.5x2－x－3=05－1－32.－33.（x－1）（x+2）5.D6.B◆【考点聚焦】知识点：一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理大纲要求:1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.掌握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题.◆【备考兵法】〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关-2-于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a0，那么根的情况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15（B）12（C）6（D）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力.在一元二次方程的应用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式042acb；②二次项系数0a，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.◆【考点链接】1.一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程002acbxax的根的判别式为.（1）acb420一元二次方程002acbxax有两个实数根，即2,1x.（2）acb42=0一元二次方程有相等的实数根，即21xx.（3）acb420一元二次方程002acbxax实数根.2．一元二次方程根与系数的关系-3-若关于x的一元二次方程20(0)axbxca有两根分别为1x，2x，那么21xx，21xx.◆【典例精析】例1（四川绵阳）已知关于x的一元二次方程x2+2（k－1）x+k2－1=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力．【答案】（1）△=[2（k—1）]2－4（k2－1）=4k2－8k+4－4k2+4=－8k+8．∵原方程有两个不相等的实数根，∴－8k+8＞0，解得k＜1，即实数k的取值范围是k＜1．（2）假设0是方程的一个根，则代入得02+2（k－1）·0+k2－1=0，解得k=－1或k=1（舍去）．即当k=－1时，0就为原方程的一个根．此时，原方程变为x2－4x=0，解得x1=0，x2=4，所以它的另一个根是4．例2（北京）已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2－1=0（1）x2+x－2=0（2）x2+2x－3=0（3）……x2+（n－1）x－n=0（n）（1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n）；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．【分析】由具体到一般进行探究．【答案】（1）1（x+1）（x－1）=0，所以x1=－1，x2=1．2（x+2）（x－1）=0，所以x1=－2，x2=1．3（x+3）（x－1）=0，所以x1=－3，x2=1．-4-……n（x+n）（x－1）=0，所以x1=－n，x2=1．（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等．【点评】本例从教材要求的基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查．例3（江苏南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？【答案】解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得（x－2）·（2x－4）=288．解这个方程，得x1=－10（不合题意，舍去），x2=14．所以x=14，2x=2×14=28．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为12xm．根据题意，得（12x－2）·（x－4）=288．解这个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=28．所以x=28×12x=12×28=14．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．【解析】在一元二次方程的应用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．◆【迎考精练】一、选择题-5-1.（台湾）若a、b为方程式x24(x1)=1的两根，且a＞b，则ba=______？A．－5B．－4C．1D.32.（2009年湖南株洲）定义：如果一元二次方程20(0)axbxca满足0abc，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知20(0)axbxca是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是A．acB．abC．bcD．abc3.(四川成都)若关于x的一元二次方程2210kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是A.1kB.1k且0kC.1kD.1k且0k4.（内蒙古包头）关于x的一元二次方程2210xmxm的两个实数根分别是12xx、，且22127xx，则212()xx的值是（）A．1B．12C．13D．255.（湖北荆州）关于x的方程2(2)20axax只有一解（相同解算一解），则a的值为（）A．0aB．2aC．1aD．0a或2a6.（山东烟台）设ab，是方程220090xx的两个实数根，则22aab的值为（）A．2006B．2007C．D．7．（湖北宜昌）设方程x2－4x－1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是()．A．－4B．－1C．1D．08．（湖北十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（）．A．0122xxB．0322xxC．3322xxD．0442xx9．（四川眉山）若方程2310xx的两根为1x、2x，则1211xx的值为()A．3B．－3C．13D．1310．（山东东营）若n（0n）是关于x的方程220xmxn的根，则m+n的值为（）-6-A.1B.2C.-1D.-2二、填空题1.(上海市)如果关于x的方程20xxk（k为常数）有两个相等的实数根，那么k．2.（山东泰安）关于x的一元二次方程02)12(22kxkx有实数根，则k的取值范围是。3.（广西崇左）一元二次方程230xmx的一个根为1，则另一个根为．4.（广西贺州）已知关于x的一元二次方程02mxx有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．三、解答题1.（山东淄博）已知12xx，是方程220xxa的两个实数根，且12232xx．（1）求12xx，及a的值；（2）求32111232xxxx的值．2．(广东中山)已知：关于x的方程2210xkx（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求另一个根及k值．3.（重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x的方程042bxx有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.-7-4．（湖南怀化）如图，已知二次函数22)(mkmxy的图象与x轴相交于两个不同的点1(0)Ax，、2(0)Bx，，与y轴的交点为C．设ABC△的外接圆的圆心为点P．（1）求P⊙与y轴的另一个交点D的坐标；（2）如果AB恰好为P⊙的直径，且ABC△的面积等于5，求m和k的值．5．（湖北黄石）已知关于x的函数21yaxx（a为常数）（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．【参考答案】选择题-8-1.A2.A3.B4.C【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式.由题意知：1212.21xxmxxm又∵22212121227xxxxxx∴22217mm得11m，25m，而当5m时，原方程的判别式2549110，此时方程无解，∴5m不合题意舍去.∴12121.3xxxx222121212414313xxxxxx，故选C本题易出错，学生易在求得11m或25m的两个值后，代入1212.21xxmxxm，求出22121212413xxxxxx或－11，易漏掉检验方程是否存在实根.5.D【解析】本题考查方程的有关知识，关于x的方程2(2)20axax只有一解，有两种情况，①该方程是一元一次方程，此时0a，②该方程是一元二次方程，方程有两个相等等的实数根，22420aa，解得2a，故选D.6.C7.B8.A9.B10.D填空题1.412.49＞k3.﹣34.14m-9-解答题1.解：（1）由题意，得12122232.xxxx，解得121212xx，．所以12(12)(12)1axx．（2）法一：由题意，得211210xx．所以32111232xxxx=32211111223xxxxxx=21112211211xxxx．法二：由题意，得21121xx，所以32111232xxxx=11112(21)3(21)2xxxxx=2111122632xxxxx=1122(21)33xxx=1121242331211xxxxx．2.解：（1）2210xkx，2242(1)8kk，无论k取何值，2k≥0，所以280k，即0，方程2210xkx有两个不相等的实数根．（2）设2210xkx的另一个根为x，则12kx，1(1)2x，解得：12x，1k，2210xkx的另一个根为12，k的值为1．3.解:∵方程240xxb有两个相等的实数根∴△=2(4)40b