宇宙速度与重力势能推导

一:第一宇宙速度当物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动时物体绕地半径为r地球半径为RRr于是有如下推论gRvgRvrRRMGgrMGvmgRMmGrvmrMmG222222由二:物体的重力势能等于地球引力对物体所做的功即:重力势能=地球引力物体相对地心的位移设引力2xGMmF说明:规定从地心向空中的方向为正方向,因为地球的引力向下,故为负值x是物体从地心向空中的位移,方向为正现在研究物体远离地心移动时势能的变化设:1rOA2rOB物体从21rr当物体向上移动时引力做功xFWxxxGMm2(注:地球引力作负功)212rrxxGMmWxrrGMm112)11(12rrGMm物体增加的势能WE(物体克服地心引力所做的功)所以物体增加的势能)11(21rrGMmE讨论1:以任意高度1r所在的平面作0势面物体从任意高度1r处移动到另一高度2r处势能增加)11(2112rrGMmEEErr当2r,即将物体从1r移到无穷远(脱离地球引力时),物体增加势能为E)11(112rGMmEEErr1rGMmE讨论2:以无穷远处(脱离地球引力时)作0势面,即物体势能为0.现在把上面情况反过来,以无穷远处(脱离地球引力时)物体势能为0由02121rrrErGMmEEE移项得11rGMmEr11rGMmEr这一结论很重要,它是在规定无穷远处势能为0得到的,这种理解下可以简化运算.讨论3:以地球表面作参考面(0势面)设:Rr1(R为地球半径)物体位移高度hhRr2一:物体位移高度0h0)11()11(21RRGMmrrGMmE结论:当物体相对参考面位移为0时,势能变化为0.二:当物体相对地球表面升高某一高度h时,且hR,即hRr2,其势能变化E)11()11(2hRRGMmrRGMmEhRRmgh(注:2RGMg)hR1hRRhRRmghE结论:当物体相对参考面位移h且hR,势能变化为mghE三:当物体升高到恰好脱离地球引力时,此时有位移高度Rh,Rhr2且1hRhhRhmgRhRRGMmrRGMmE)11()11(2mgR结论当物体恰好脱离地球引力时1:地球引力不再对物体做功.2:物体的重力势能不再变化(不增也不减)3:此前地球引力对物体做功总值mgRW总4:此前物体的势能总共增加mgRE四:关于物体离地心无穷远(脱离地心引力时)势能为0的理解1:如下图所示,以地面和无穷远处相互参考将地面作0势面(0地面E),物体从地面趋向无穷远时势能逐渐增加,(脱地地球引力),由mgREE地面远穷远,mgRE无穷远,此后势能不再变化.2:将物体脱离地球引力(无穷远处)作0势面,由于从地面趋向无穷远时势能逐渐增加直到为0.且mgREE地面远穷远,所以mgRE地面三:第二宇宙速度由上面的讨论(三,三)入手当物体恰好脱离地球引力时,即进第二宇宙速度因为物体从地面进入太空时只受重力作用,所以其总机械能守恒假设物体离开地球表面时初动能为221mvE动物体恰好脱离地球引力时的势能为mgRE势由于整个过程中机械能守恒,而恰好说明物体的初动能恰好全部转为势能.所以:势动EE于是可得:mgRmv221gRv2