安全抛物线

谈谈安全抛物线(力学与实践修改稿，2009.05.09)1安全抛物线摘要：本文介绍了确定安全抛物线的四种不同方法，即通过确定曲线族包络线的分析方法，判定一元二次方程重根条件的代数方法，寻找沿斜面最大射程的极值方法和包络线构造的几何方法。从代数、几何和力学等不同角度讨论了安全抛物线的性质。关键词：安全抛物线；包络线；最大射程；变分法向空中斜抛出一个物体，划出一条美丽的曲线，这就是众所周知的抛物线。从一个固定点以相同的速度、沿不同方向抛出的质点轨迹是一族抛物线，其能达到的范围在一条抛物线的内部，这条抛物线即为安全抛物线(图1)。一般用微积分方法推导安全抛物线，其优点是简便、适用性广，但比较抽象，对安全抛物线的几何和力学性质揭示的也不够全面。本文介绍了确定安全抛物线的四种不同方法，这些方法分别从分析、代数、极值和几何的角度描述了安全抛物线的特征和性质。yxh2hT0vo图1抛体运动与安全抛物线如图1所示，以固定点为坐标原点o，取x轴水平向右，y轴铅直向上，设质点初速度0v与x轴夹角为，通过积分质点的运动微分方程，然后消去时间t，可得质点的轨迹方程：2220cos2tanxvgxy(1)通过配方法，可将(1)写成：220220220)2sin2(cos22singvxvggvy(2)由(2)可知，质点的轨迹是顶点为)2/sin,2/2sin(),(2202000gvgvyx，开口向下的抛物线，半正焦弦gvp/cos220，于是准线方程为hgvgvgvpyy2/2/cos2/sin2/202202200(3)可见准线的高度正好是以0v为初速、垂直向上抛射质点达到的最大高度，并与无关。谈谈安全抛物线(力学与实践修改稿，2009.05.09)2令tans，将(1)写成：04)1(),,(22hxssxysyxF(4)令02),,(2hsxxsyxFs(5)联立方程(4)和(5)，消去参数s，得到抛物线族(1)的包络线方程：220202224xvggvhxhy(6)包络线(6)也为一抛物线，对其内部的每一点，有(1)中两条不同的抛物线通过，对其上的每一点有仅有(1)中一条抛物线通过，对其外部的每一点没有(1)中任何抛物线通过(图1)，故称其为安全抛物线。安全抛物线的上述性质可通过初等方法证明]1[：视(4)为关于变量s的一元二次方程，对于给定的点),(yx，有两条、或一条、或没有(1)中的抛物线通过该点，取决于此一元二次方程的判别式大于零、或等于零、或小于零，因此安全抛物线为：0)4)(4(4222yhxhxx(7)由(7)可导出(6)。现有一个斜角为的斜面(图2(a))，斜面的方程可写成：tanxy(8)如果抛射的初速度仍为定值0v，那么质点沿斜面的最大射程为多少呢？对应的抛射角又如何确定呢？利用安全抛物线的性质，可方便地解决这两个问题：沿斜面的最大射程为原点o到射线(8)与安全抛物线交点D之间的距离R；对应的唯一抛物线在D点与安全抛物线相切(图2(a))。具体说明如下]2[：设发射角的抛物线与斜面(8)交点E的坐标为)sin,cos(),(rryx，将其代入(1)中，解出沿斜面的射程：220cossin)2sin(gvr(9)谈谈安全抛物线(力学与实践修改稿，2009.05.09)3yxoDrRCEhT11yxoRh(a)(b)图2(a)沿斜面的最大射程，(b)极坐标由(9)可知，当2/2时，或)2(2124(10)即当0v的方向平分y轴与斜面之间的夹角时(最大发射角)，质点沿斜面具有最大射程：)cos1(20gvR(11)其中2。容易验证(11)就是安全抛物线(6)的极坐标形式(图2(b))。由最大射程的极值性和唯一性，可知具有最大发射角的抛物线在斜面与安全抛物线的交点D处切于后者。设)2(2(12)即(13)由(9)和(12)可知，对应发射角、的两条抛物线沿斜面(8)有相同的射程)(Rr(图2(a)中的抛物线1和1)，它们的发射角关于最大发射角是对称的。当r以增加的方向趋近R时，这两条抛物线就趋近于具有最大发射角的抛物线。谈谈安全抛物线(力学与实践修改稿，2009.05.09)4oND1S1S11TxyhoNTxyhSD图3安全抛物线的几何构造图4两抛物线相切安全抛物线是抛物线族(1)中任意两条无限靠近的抛物线交点的集合，下面的几何法更直观地说明这一点]2[。如图3所示，设抛物线族(1)中任意两条抛物线1和1除o点外，它们还相交于D点，它们的焦点分别是1S和1S。由于它们都以TN为准线，故：11oShoS，DSNDDS11(14)其中N是过D的铅垂线与准线TN的交点。因此T、1S、1S三点在圆心为o点、半径为h的圆上，而N、1S、1S三点在圆心为D点、半径为ND的圆上。当抛物线1和1无限相互趋近时，1S和1S点趋近一个极限点S，D趋近极限点D，上述两圆在S点相切，o、S和D三点在同一条直线上(图4)，且D点到o点和D点到直线hy2的距离相等，于是所有类如D点的集合构成T为顶点、o为焦点、准线为hy2的抛物线，即安全抛物线(6)。实际上，D点就是过o点和焦点S的直线与相应抛物线的交点，此抛物线和安全抛物线在D点的切线均平分角oDN，故两切线相重合，即它们相切于D点(图4)。可以通过莫培督—拉格朗日最小作用量原理]4[],3[，建立关于拉格朗日作用量的变分问题，而由该变分问题导出的欧拉方程的解即为抛物线族(1)(极值曲线)。由前面的分析可知，在包络线的内部的任一点E(图2(a))，有两条不同的极值曲线1和1联接o点和E点，但是只有在极值曲线1上拉格朗日作用量为极小值，但在极值曲线1上拉格朗日作用量不是极小值。原因是极值曲线1在C点与包络线相切，在这极值曲线的oCE段上有共轭点C；而极值曲线1没有出现这种情况。因此用抛体运动来说明变分法中若干基本原理是比较直观的]5[。安全抛物线在现实生活中是很有用的，例如可以用其估计定向爆破的安全范围和防空炮火的防御区域，可以帮助投掷运动员选择最佳的出手角度等等]7[],6[。谈谈安全抛物线(力学与实践修改稿，2009.05.09)5