广东省华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试(三)数学试题(理科)

1广东省华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试（三）数学试题（理科）1．已知命题p：1sin,xRx，则（C）A．1sin,:xRxpB．1sin,:xRxpC．1sin,:xRxpD．1sin,:xRxp2．已知函数1)(0,01),sin()(12afxexxxfx，若，则a的所有可能值组成的集合为BA．{1}B．}22,1{C．{－22}D．{1，22}3．命题p：若1||1||||,babaRba是，则的充分不必要条件；命题q：函数),3[)1,(2|1|定义域是xy，则（A）A．“p\/q”为假B．“qp”为真C．p真q假D．p假q真4．不等式02||2xx的解集是（A）A．}22|{xxB．}22|{xxx或C．}11|{xxD．}11|{xxx或5．在等比数列{an}中，8219131iinnkikkiaaaaaaa，则，若，（C）A．27B．－27C．327D．3276．给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：①“若babaRba0，则、”类比推出“babaCca0,则、”②“若dbcadicbiaRdcba,，则复数、、、”类比推出“dbcadcbaQdcba,22，则、、、”③“若babaRba0，则、、”类比推出“若babacba0.,则、”④“若111||xxRx，则”类比推出“若111||zzCz，则”其中类比结论正确．．．．的个数有A．1B．2C．3D．4（B）27．在R上定义运算：)1(yxyx.若不等式1)()(axax对任意实数x恒成立，则（C）A．11aB．0a2C．2321aD．2123a8．设函数PMxfxPxfxMxaxxf，若，集合}0)(|{},0)(|{1)(，则实数a的取值范围是（D）A．)1,(B．（0，1）C．),1(D．),1[9．若复数z满足方程1iiz，则z=1－i10．定积分230|sin|dxx的值是311．函数xxytan31tan3的单调递减区间是5(,)()66kkkZ12．若从集合P到集合Q={a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P可作的不同映射共有64个.13．已知yxyxRyx1114*,，则，且的最小值为9∵9454411*,,yxxyyyxxyxyxRyx当且仅当61,31yx取等号14．将正整数排成下表：12345678910111213141516……则数表中的300应出现在第18行.（由已知可知所有的数字为公差为1的等差数列，每行的数字个数为以1为首项，2为公差的等差数列，前n行数字个数为n2.）1,3,5315．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c=7，且.272cos2sin42CBA（1）求角C的大小；解：∵A+B+C=180°由272cos2cos4272cos2sin422CCCBA得…………1分∴27)1cos2(2cos142CC………………3分整理，得01cos4cos42CC…………4分解得：21cosC……5分∵1800C∴C=60°………………6分（2）求△ABC的面积.由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－2ab…………7分∴abba3)(72…………8分=25－3ab9分6ab10分∴23323621sin21CabSABC…………12分17．（本小题满分14分）在公差为d（d≠0）的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3.（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）令nnnbac，求数列{cn}的前n项和Tn.解：（1）由条件得：126,4565711nnnbnaqdqdqd…………6分（2）nnccccT321nnnnnbababababaT11332211①11433221nnnnnbababababaqT②①－②：112111132111)1()1(nnnnnnnnbaqqbdbabadbdbdbdbbaTq即nnnnT6)45(5)61(65151∴16)1(nnnT…………14分416．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（量大供应量）如下表所示：产品消耗量资源甲产品（每吨）乙产品（每吨）资源限额（每天）煤（t）94360电力（kw·h）45200劳动力（个）310300利润（万元）612问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨.获得利润z万元……1分依题意可得约束条件：003001032005436049yxyxyxyx…………4分利润目标函数z=6x+12y…………8分如图，作出可行域，作直线l：z=6x+12y，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=6x+12y取最大值.解方程组20054300103yxyx，得M（20，24）…………11分所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润…………12分518．（本小题满分14分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，|AB|=3米，|AD|=2米.（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（Ⅱ）若AN的长度不小于6米，则当AM、AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积.解：设AN的长为x米(x2)∵||||||||AMDCANDN∴23||xxAM∴23||||2xxAMANSAMPN…………3分（Ⅰ）由SAMPN32得32232xx，∵0)8)(83(064323,22xxxxx，即∴8382xx或，即AN长的取值范围是),8()38,2(…………6分（Ⅱ）令2222)2()4(3)2(3)2(623xxxxxxxyxxy，则…………9分∴当),4(430,42在，即函数xxyyx上单调递增，∴函数),6[232在xxy上也单调递增…………11分∴当x=6时，232xxy取得最小值即SAMPN取得最小值27（平方米）此时|AN|=6米，|AM|=4.5米…………13分答：当AM、AN的长度分别是4.5米，6米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积是27平方米.………………14分619．（本小题满分14分）已知函数).0(ln2)(2xxaxxxf（Ⅰ）若),1[)(在xf上单调递增，求a的取值范围；解：（Ⅰ）由xaxxxfxaxxxf2222)(ln2)(，得…………2分欲使函数为),1[上单调增函数，则),1[0)(在xf上恒成立，即不等式),1[0222在xaxx上恒成立，也即),1[222在xxa上恒成立4分令222)(xxx，上述问题等价于max)(xa，而),1[22)(2为在xxx上的减函数，则00)1()(maxax，于是为所求.6分（Ⅱ）若定义在区间D上的函数)(xfy对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式)2()]()([212121xxfxfxf成立，则称函数)(xfy为区间D上的“凹函数”.试判断当)(0xfa时，是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明证明：由xaxxxfln2)(2得)ln(ln2)11()(212)()(2121222121xxaxxxxxfxf2121212221ln)(21xxaxxxxxx…7分2ln4)2()2(212122121xxaxxxxxxf…8分而22122122212221)2(]2)[(41)(21xxxxxxxx①…………10分又21212121212221221442)()(xxxxxxxxxxxxxx，②…………1分∵2lnln221212121xxxxxxxx，∵2lnln02121xxaxxaa，③…13分由①、②、③得21212212121212221ln4)2(ln)(21xxaxxxxxxaxxxxxx即)2(2)(2121xxfxxf，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数…………14分720．（本小题满分14分）已知数列.*,141:}{11Nnxxxxxnnnn且满足（1）计算x2，x3，x4的值；（2）试比较xn与2的大小关系；（3）设|2|nnxa，Sn为数列{an}前n项和，求证：当nnSn2222时，.解：（1）.2041;713;25432xxx…………3分（2）∵当1212214221nnnnnnnxxxxxxxn时，又0,11311411nnnnnxxxxxx则，∴22122211xxxxnn，则相反，而与以此类推有：2,2212nnxx………………8分（3）∵当2n时，11,1311411nnnnnxxxxxx，则∴|2|211|2||214||2|1nnnnnnxxxxxx∴)2()21()21(211111naaannnn∴nnninna111222211)21(1)21()21(211…………14分