广东省华附省实深中广雅四校2013届高三上学期期末联考数学理试题

2013届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考数学（理科）命题学校：华南师范大学附属中学命本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1．考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。第一部分选择题（共40分）一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q=A．{3,0}B．{3,0,1}C．{3,0,2}D．{3,0,1,2}2.复数－i＋1－i1+i＝A．－2iB．12iC．0D．2i3.在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于A．16B．32C．64D．2564.若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，Pl，则下列命题中是假命题的为A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β5.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)6.给出下述四个命题中：①三角形中至少有一个内角不小于60°；②四面体的三组对棱都是异面直线；③闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点；④当k0时，方程x2+ky2=1的曲线是椭圆.其中正确的命题的个数有A．1B．2C．3D．47.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a＋13b的最小值为A．323B．283C．143D．1638.定义域为R的函数f(x)=lg|x－2|，x≠21，x=2，若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有5个不同的实数解x1,x2,x3,x4,x5，则f(x1+x2+x3+x4+x5)等于A．lg2B．2lg2C．3lg2D．4lg2第二部分非选择题（110分）二、填空题:（本大题共6小题,每小题5分,共30分）.（一）必做题（9～13题）：9.从0，1，2，3，4这5个数字中，任取3个组成三位数，其中奇数的个数是*****；10.执行图中的算法后，若输出的y值大于10，则输入x的取值范围是*****；11.已知e1、e2、e3为不共面向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2＋e3，c＝e1＋e2－e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝xa＋yb＋zc，则x、y、z分别为*****．12.函数y=(tanx－1)cos2x的最大值是*****．13.已知正整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是*****．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都选的只计算14题的得分.）14.（坐标系与参数方程）在极坐标中，圆=4cos的圆心C到直线sin(+4)=22的距离为*****.15．（几何证明选讲）如图所示，⊙O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4,BD=8，则⊙O的半径等于*****.开始输入xx1是否y=x+13y=x+8输出y结束三．解答题:（本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本题满分12分）已知数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1,2,3，……），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求{an}的通项公式．17.（本题满分12分）已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量→m=(cosC2,sinC2)，→n=(cosC2,－sinC2)，且→m与→n的夹角为3.（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）已知c=3，△ABC的面积S=433，求a+b的值.ks5u18.（本题满分14分）某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在规定期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：信息技术生物化学物理数学周一1414141412周三1212121223周五1313131323(Ⅰ)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；(Ⅱ)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19.（本题满分14分）如图，在三棱锥V－ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=(02)（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；（Ⅱ）当角变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．ks5u20.（本题满分14分）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点D(0,2)为圆心，1为半径的圆相切，又知双曲线C的一个焦点与D关于直线y=x对称．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（－2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．21.（本题满分14分）已知函数f(x)是在（0,+∞）上每一点处可导的函数，若)(xfx＞f(x)在（0，+）上恒成立.（Ⅰ）求证：函数g(x)=f(x)x在（0,+∞）上单调递增；（Ⅱ）当x1＞0,x2＞0时，证明：f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2)；（Ⅲ）已知不等式ln(1+x)＜x在x＞－1且x≠0时恒成立，证明：122ln22+132ln32+142ln42+…+1(n+1)2ln(n+1)2n2(n+1)(n+2)(nN+).VBCDA2013届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科数学答案一、选择题：题号12345678答案BACBDCDC1.解：由P∩Q＝{0}知，0P且0Q.由0P，得a2log＝0a=1；由0Q得b=0.故P∪Q＝{3,0,1}.选B.2.解：－i＋1－i1+i＝－i－i＝－2i.选A.ks5u3.解：由已知有a1·a19＝16，又a1·a19＝a102，∴在正项等比数列中，a10＝4.∴a8·a10·a12＝a103＝64.选C.4.解：对于A，由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此平行于平面β，因此A正确.根据面面垂直的性质定理知，选项C、D正确.选B.5.解：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．选D.6.解：当k=1时，曲线是圆，故D错误．其余三个命题都是正确的.选C.7.解：由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0a23，0b1.又2a＋13b＝3a＋2b22a＋13b＝3＋13＋2ba＋a2b≥103＋22ba·a2b＝163，当且仅当2ba＝a2b，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2，即当a＝12，b＝14时，2a＋13b的最小值为163，故选D.8.解：因方程方程0)()(2cxbfxf恰有5个不同的实数解，故x=2应是其中的一个根，又f(2)＝1，故1+b+c=0c=－(b+1),于是有，0)1()()(2bxbfxf[f(x)－1][f(x)+（1+b）]=0[lg|x－2|－1][lg|x－2|+（1+b）]=0四个根为－8，12，2101,210111bb12345()fxxxxx＝f(10)＝3lg2,选C.二、填空题:9.答案：18解：从1，3中取一个排个位，故排个位有12A种方法；排百位不能是0，可以从另外3个数中取一个，有13A种方法；排十位有13A种方法。故所求奇数个数有13A×13A×12A＝18个.10.答案：（－3,1）∪（2，+）解：由题y=x+8，x≥1x+13，x1，因此x≥1x+810或x1x+1310解之得：x2或－3x1，所以解集为(－3,1)∪(2,+).11.答案：52,－12,－1解：由d＝xa＋yb＋zc得e1＋2e2＋3e3＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x＋y－z)e3，∴x＋y＋z＝1，x－y＋z＝2，x＋y－z＝3，解得：x＝52，y＝－12，z＝－1.故x、y、z分别为52，－12，－1.12.答案：2－12,ks5u解：y=sinxcosx－cos2x=12(sin2x－cos2x)－12=22sin(2x－4)－12,x≠k+2.当x=k+38(kZ)时，ymax=212.13.答案：(5,7),解：按规律分组：第一组(1,1)；第二组(1,2)，(2,1)；第三组(1,3)，(2,2)，(3,1)；……则前10组共有10×112＝55个有序实数对．第60项应在第11组中，即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，(11,1)中的第5个，因此第60项为(5,7)．14.答案：2解：在直角坐标系中，圆：x2+y2=4x，圆心C(2,0)，直线：x+y=4，所以，所求为2.15．答案：5解：由题：△ACD∽△CDB，得CD2=AD·BD，所以AD=2，AB=10r=5.三．解答题:16.解：（I）a1=2,a2=2+c，a3=2+3c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2+c)2=2(2+3c)，解得c=0或c=2．当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=2．（II）当n≥2时，由于a2－a1=2，a3－a2=2×2，an－an－1=2(n－1)，以上n－1个式叠加，得an－a1=2[1+2+…+(n－1)]=n(n－1)．an=2+n(n－1)=n2－n+2(n=2,3,……)．当n=1时，上式也成立，故an=n2－n+2(n=1,2,3,…)17.解：（Ⅰ）∵→m·→n=|→m||→n|·cos3,|→m|=|→n|=1.∴cosC2cosC2+sinC2(－sinC2)=cos3即cosC=cos3,又∵C(0,)∴C=3.（Ⅱ）由c2=a2+b2－2abcosC得a2+b2－ab=9………………①由S△=12absinC得ab=163………………②由①②得(a+b)2=a2+b2+2ab=9+3ab=25a、Rb∴a+b=5.18.解：(Ⅰ)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则P(A)＝1－121－231－23＝118.(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5.P(ξ＝0)＝1－124×1－23＝148；P(ξ＝1)＝C14×12×1－123×