路径积分和金融衍生品定价

路径积分和金融衍生品定价报告提纲•教育工作背景（Background）•计算机图象生成问题中的新的数学框架－系列蒙特卡罗方法（SequentialMonteCarlomethods）–在图形生成和动画仿真中的应用–在金融衍生品定价中的应用•金融数学工程（FinancialEngineering）–柯朗数学研究所的金融数学课程–贝尔斯登银行，摩根大通银行和安永公司的项目–金融业界的学术交流和专业活动•今后研究计划（FuturePlanandResearch）教育背景/工作经历•教育背景–威斯康星大学–纽约大学柯朗数学研究所–北京师范大学•工作经历–安永公司，高级定量研究员–贝尔斯登银行/摩根大通银行，业务副主管–北京师范大学数学系，助教和讲师报告提纲•教育工作背景（Background）•计算机图象生成问题中的新的数学框架－系列蒙特卡罗方法（SequentialMonteCarlomethods）–在图形生成中的应用–在金融衍生品定价中的应用•金融数学工程（FinancialEngineering）–柯朗数学研究所的金融数学课程–贝尔斯登银行，摩根大通银行和安永公司的项目–金融业界的学术交流和专业活动•今后研究计划（FuturePlanandResearch）图象和动画仿真PhotorealisticRendering•目标(Goal)：图象模拟仿真和动画(Generaterealisticphotosandanimations)•应用（Applications）–电影制作（Movie）–交互式娱乐（Interactiveentertainments）•电脑游戏（Computergames）•虚拟实境（Virtualrealitywalk-throughs）–动画制作（Animation）–广告制作（Advertisement）FromDayAfterTomorrow图象和动画仿真的应用ApplicationsofPhotorealisticRendering黑客帝国2：重装上阵明日之后图象和动画仿真的流程ChartflowforPhotorealisticRenderingSceneDescritpion-Lights-Geometries-Camera&Film-OthersRendering-Lights:releasetheenergy.-Geometries:bouncetheenergy-Camera&Film:absorbtheenergytogenerateimagesHumanPerceptionImageFrames生成方程（RenderingEquation）•反射方程（ReflectionEquation）•能量守恒方程(EnergyBalanceEquation)txtxtxtxtx)()()(ttrttettxxLxxLxxLLightreflectedSumBRDFIncominglightincominglightreflectedatthepointMttitttsttrxxLxxxfxxL)()()(生成方程的路径积分形式•路径积分（FeynmanIntegral)–:路径–Ω:路径空间–:面元测度–:路径对成像的贡献tX~tntttxxxX21~ttkjkjxdxfI~~)~(txkjftNtNtntntntntnsttttetkjvvxxxxGxxxfxxGxxLxf1kj1N1n1111010W~v图象生成的蒙特卡罗积分（MonteCarloIntegrationforRendering）•要计算在像素j上的亮度:Ω是光路空间•蒙特卡罗积分:–选择一个随机分布函数p(.),产生N条光路•如何选择p(.)是关键:–最好是实际的分布函数IfXdXjj()()()INfXpXjjiiiN11Xi有关蒙特卡罗方法的背景（BackgroundonMonteCarlo）•取名于摩纳哥的著名赌城•掷色子是一个随机事件•蒙特卡罗方法–任何涉及随机采样的数值方法–不光可用于有关随机的问题•估计圆周率π•优化问题–40年代美国LosAlamos实验室的科学家用于核武器的研究–代表人物：冯诺依曼传统蒙特卡罗方法存在的问题--图象仿真•计算量很大•收敛速度慢•如果采样不够多，–图像噪声(SpatialNoisy)–纰漏(Artifacts)Nvar/1~现有的蒙特卡罗方法存在的问题动画仿真•生成动画仿真需很长时间–每一揁图通常几个小时•时间噪声(Temporalnoise)–闪烁（Flickering）–摇晃闪光（Shimmering）FromMax-PlanckInstitute,German解决方案－系列蒙特卡罗方法•改进的蒙特卡罗方法应–适应性采样(adaptsampling)•集中重要和难得区域•用多个采样分布函数–样本重用（ImportantPathReuse）改进的方法传统的方法系列蒙特卡罗方法SequentialMonteCarlo(SMC)•SMC:从一系列的采样分布函数的一套采样方法•关键（Keyideas）–利用已有的样本来改进后面的采样分布函数和采样策略•已有的样本提供先验信息（aprioriinformation）–样本重用（ReusesamplesthroughresamplingandMCMC）•再采样（Resampling)•马尔科夫链蒙特卡罗(MarkovChainMonteCarlo–MCMC)系列蒙特卡的分布函数图像平面的适应性采样（AdaptiveSamplingImagePlane）不同的区域有不同的细节阴影部分反射亮区黑背景调节分布函数使得细节多的区域样本更多一些AdaptiveImagePlaneInit.imagePixelsampledistributionPerceptualvar.结果比较PMC-IPMISPMC-IPP-VarMISP-Var动画仿真中的样本重用3215.05.0?1:cos),(?1:cos),(1~|~11,111,11,01101101casecasecaseTTTTTSyyyGTSyyyGTTtXYTbackwardforwardforwardbackwardspecularlmjtjoutjtjtjforwardmljtjoutjtjtjbackwardNiispecularktttimetsubkCornellBoxFrame-By-FrameWithTemporalPerturbationChessBoardFrame-By-FrameWithTemporalPerturbationBasementFrame-By-FrameWithTemporalPerturbation论文的贡献和影响•引入系列蒙特卡罗的数学框架到计算机图形学–适应性采样和样本重用–有效解决图象和动画的仿真生成问题•开启了一些后续的拓宽•吸引了一定的工业界的兴趣发表文章(SelectivePublications)•ShaohuaFan,StephenChenney,BoHu,Kam-WahTsuiandYu-chiLai.OptimizingControlVariateEstimatorsforRendering.ComputerGraphicsForum,25(3),2006,pp.351–358.•ShaohuaFan,StephenChenneyandYu-chiLai.MetropolisPhotonSamplingwithOptionalUserGuidance,EurographicsSymposiumonRendering,2005,pp.127–138.•Yu-ChiLai,ShaohuaFan,StephenChenney,andCharlesDyer,PhotorealisticImageRenderingwithPopulationMonteCarloEnergyRedistribution,EurographicsSymposiumonRendering,2007,pp.287–296.•Yu-ChiLai,StephenChenneyandShaohuaFan.GroupMotionGraphs,Proc.ACMSIGGRAPH/EurographicsSymposiumonComputerAnimation2005,pp281–290.•ShaohuaFan,CharlesR.Dyer,LarryHubbard,BarbaraKlein.AnAutomaticSystemforClassificationofNuclearSclerosisfromSlit-LampPhotographs.MICCAI2003,LNCS,Vol.2878,R.EllisandT.Peters,eds.,Springer,Berlin,2003,592-601.•ShaohuaFanandQijiangZhu.HybridModeloftheGapProbabilityoftheForestCanopy,ChineseScienceBulletin,Vol.40,No.7,pp.581–585,1995.•ShaohuaFan,QijiangZhu,andLaifuLiu.AModelofGapProbabilityanditsModification,RemoteSensingofEnvironment,Vol.10,No.1,pp.70–75,1995.在金融衍生品定价中的应用•图像生成是一个路径积分问题•很多金融问题也可以归结成求路径积分–期权定价•LinetskyVadim,ThePathIntegralApproachtoFinancialModelingandOptionsPricingComputationalEconomics,Vol.11,No.1-2,129-163–利率衍生品模型和定价•OttoMatthais，UsingPathIntegralstoPriceInterestRateDerivatives，6/99•主要的计算方法是蒙特卡罗•是系列蒙特卡罗应用的自然延伸报告提纲•教育工作背景（MyBackground）•计算机图象生成问题中的新的数学框架－系列蒙特卡罗方法（SequentialMonteCarlomethods）–在图形生成中的应用–在金融衍生品定价中的应用•金融数学工程（FinancialEngineering）–柯朗数学研究所的金融数学课程–贝尔斯登银行，摩根大通银行和安永公司的项目–金融业界的学术交流和专业活动•今后研究计划（FuturePlanandResearch）数学金融/金融工程•数学金融/金融工程–是一个涉及多学科的领域：金融，物理，数学，计算机，及工程•美国主要的金融工程培养点–硕士培养点200多个，没有单独的本科培养点–1~2年内完成–大部分在数学系，商学院，工业工程•CMU:成立于1992，商学院•Berkeley：商学院•Courant：数学系•Chicago:数学系•Columbia:工业工程数学金融/金融工程•美国金融工程培养点前十名–(=209102204)柯朗的数学金融•课程(Courses)–卖方:金融衍生品,随机分析，连续时间下的模型和定价，利率模型，风险管理，金融中的计算方法–买方:期货和能源衍生品，算法交易,统计套利，时间系列分析,组合资产的管理和优化•教授(Facultymembers)–PeterCarr,PetterKolm–BrunoDupire–NassimT