安徽大学2006-2007学年第二学期复变函数试卷(A卷)参考答案

安徽大学2006—2007学年第二学期《复变函数》考试试卷（A卷）参考答案一填空题（每小题3分，共15分）1yxvuxyvu2dzzfizfc)(21)(3knkkza04上半平面52二计算与解答（每小题15分，共45分）1解])(Re)(Re[2)1(sin1022zzzzsfzsfidzzzz（8分）]|)sin(0[21zzzi（12分）=)1sin1(cos2i（15分）2解因2233yxuxxyuy6xuxx6xuyy6，则),(yxu为复平面的调和函数。（5分）由RC条件，)(3)(32xyyxxdyuvxxyuxxyvyx6)(6故cx)(cyyxv323iczviuzf3)(（13分）又因if)0(则1c则izzf3)(（15分）3解作分式线性变换11zzk（5分）再令1k则将上半单位圆盘变成第一象限。（10分）则2)11(zzw即为所求的一个保形变换。（15分）三证明题（每小题15分，共30分）1证明令zaaz1则此变换将1z变为1，且将az映为0。（5分）则复合函数))((zfw将1映为1w，且将0映为0w。由Schwarz引理有，w，即zaazzf1)(.（15分）2证明由辐角原理，2)](1arg[)),(1()),(1(zfczfPczfNc（5分）又因为在C上，1)(zf，则0)](1arg[zfc（10分）则02)](1arg[)),(()),(1(zfczfPczfNc。证毕。（15分）四探讨题（共10分）解：首先说明)(zf在1z内仅有可能有有限个零点和有限个极点，否则会与零点的孤立性及题设条件矛盾。（2分）再分别设其在1z内的零点与极点分别为iami1及jbnj1，其对应的阶数分别为imi1和jnj1。（6分）则miiinjjjijazazbbzzfz11)1()1()()(在1z内解析且无零点，且当1z时1)(z。（8分）由最大模最小模原理有，在1z内iez)(。（9分）则)(zf在1z的表达式为：miiinjjjiijaazbzbezf11)1()1()(（10分）