广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试数学文试题

·1·2014届越秀区高三摸底考试试卷数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号、座号”处填涂考生号、座位号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班级，以及自己的姓名填写在答题卷上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将试卷和答题卷一并交回．参考公式：圆锥的侧面积公式Srl，其中r是圆锥的底面半径，l是圆锥的母线长.锥体的体积公式13VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{1,2,3,45}U，，集合{1,2}A，{2,3}B，则UAB（）ð（）.A.{3}B.{4,5}C.{1,2,3}D.{2,3,4,5}2.已知3()logfxx，则(3)f（）.A.12B.13C.3D.33.下列函数为偶函数的是（）.A.2(1)yxB.3yxC.1yxxD.sinyxx4.设aR，则“1a”是“直线21yax与直线1yx平行”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长·2·为5的等腰三角形，则这个几何体的侧面积为（）.A.4B.5C.12D.156.某校高二年级100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则这100名学生数学成绩在[70,100]分数段内的人数为（）.A.45B.50C.55D.607.在△ABC中，4cos5A，8ABAC，则△ABC的面积为（）.A.65B.3C.125D.68.已知0,0ab，则14abab的最小值是（）.A.2B.22C.4D.59.若函数()fx的零点与()43xgxex的零点之差的绝对值不超过0.25，则()fx可以是（）.A.()21fxxB.()21fxxC.()21xfxD.()lg(2)fxx10.若过点(2,0)的直线与曲线3yx和274yaxx都相切，则a的值为（）.A.2B.516C.2或4916D.3或516二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11.在复平面内，复数2iiz对应的点的坐标是.12.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是.13.在区域0,0,60abab内随机取一个点(,)ab，则关于x的二次函数21yaxbx在区间[),1上是增函数的概率是.·3·（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，若3AB，1CD，则cosBPC的值为.15．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程是cos1sinxy（为参数），以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,0)fxAxA，xR的最大值是1，最小正周期是2，其图像经过点(0,1)M．（1）求()fx的解析式；（2）设A、B、C为△ABC的三个内角，且3()5fA，5()13fB，求()fC的值．17.（本小题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所科研单位A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）：科研单位相关人数抽取人数A16xB123C8y（1）确定x与y的值；（2）若从科研单位A、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自科研单位A的概率.18.（本小题满分14分）如图，菱形ABCD的边长为4，60BAD，ACBDO.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD，点M是棱BC的中点，22DM.（1）求证：//OM平面ABD；（2）求证：平面DOM平面ABC；（3）求三棱锥BDOM的体积.·4·19．（本小题满分14分）已知数列{an}的前n项和2*2()nSnknkN，且nS的最大值为4.（1）确定常数k的值，并求数列{an}的通项公式an；（2）令53nnnab，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Tn与32的大小.20.(本小题满分14分)已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab经过点(4,15)P，且双曲线C的渐近线与圆22(3)4xy相切.（1）求双曲线C的方程；（2）设(,0)Fc是双曲线C的右焦点，00(,)Mxy是双曲线C的右支上的任意一点，试判断以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆的位置关系，并说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数()1ln(02)2xfxxx.（1）试问()(2)fxfx的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（2）定义2111221()()()()nniinSffffnnnn，其中*nN，求2013S；（3）在（2）的条件下，令12nnSa.若不等式2()1namna对*nN且2n恒成立，求实数m的取值范围.·5·2014届越秀区高三摸底考试数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．题号12345678910答案DADADCBCBC二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11.(1,2)12.20013.2314.1315.2sin三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16.（1）因为函数()fx的最大值是1，且0A，所以1A.因为函数()fx的最小正周期是2，且0，所以22T，解得1.所以()sin()fxx.因为函数()fx的图像经过点(0,1)M，所以sin1.因为0，所以2.所以()sin()cos2fxxx.（2）由（1）得()cosfxx，所以3()cos5fAA，5()cos13fBB.因为,(0,)AB，所以24sin1cos5AA，212sin1cos13BB.因为,,ABC为△ABC的三个内角，所以coscos[()]cos()CABAB.所以()coscos()(coscossinsin)fCCABABAB35412()5135133365.17.（1）依题意得，316128xy，解得4x，2y.（2）记从科研单位A抽取的4人为1234,,,aaaa，从科研单位C抽取的2人为12,cc，则从科研单位A、C抽取的6人中选2人作专题发言的基本事件有：1213141112{,},{,},{,},{,},{,},aaaaaaacac23242122{,},{,},{,},{,},aaaaacac343132414212{,},{,},{,},{,},{,},{,},aaacacacaccc共15种.记“选中的2人都来自科研单位A”为事件M，则事件M包含的基本事件有：121314232434{,},{,},{,},{,},{,},{,},aaaaaaaaaaaa共6种.·6·则62()155PM.所以选中的2人都来自科研单位A的概率为25.18.（1）因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以//OMAB.因为OM平面ABD，AB平面ABD，所以//OM平面ABD.（2）因为在菱形ABCD中，ODAC，所以在三棱锥BACD中，ODAC.在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，60BAD，所以BD＝4.因为O为BD的中点，所以122ODBD.因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以122OMAB.因为2228ODOMDM，所以90DOM，即ODOM.因为AC平面ABC，OM平面ABC，ACOMO，所以OD平面ABC.因为OD平面DOM，所以平面DOM平面ABC.（3）由（2）得，OD平面BOM，所以OD是三棱锥DBOM的高.因为2OD，113sin60223222BOMSOBBM，所以112332333BDOMDBOMBOMVVSOD.19.（1）因为22*()()nSnkkkN，所以当nk时，nS取得最大值2k.依题意得24k，又*kN，所以2k.从而24nSnn.当2n时，221(4)[(1)4(1)]52nnnaSSnnnnn.又113aS也适合上式，所以*52()nannN.（2）由（1）得52nan，所以5233nnnnanb.所以12324623333nnnT①，23411246233333nnnT②.由①－②得，1231222222333333nnnnT，·7·所以121111113233113333322313nnnnnnnnnT.因为3230223nnnT，所以32nT.20.（1）因为双曲线2222:1xyCab经过点(4,15)P，所以2216151ab①.因为双曲线C的的渐近线0bxay与圆22(3)4xy相切，所以圆心(0,3)到直线0bxay的距离等于2，即2232aba，整理得2254ab②.联立①与②，解得224,5.ab所以双曲线C的方程为22145xy．（2）由（1）得，223cab，所以双曲线C的右焦点为(3,0)F.设双曲线C的左焦点为(3,0)F，因为点M在双曲线C的右支上，所以4MFMF，即22220000(3)(3)4xyxy，所以22220000(3)4(3)xyxy.因为以双曲线C的实轴为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为12r；以MF为直径的圆的圆心为003,22xy，半径为222001(3)2rxy，所以两圆圆心之间的距离为2222000031(3)222xydxy.因为22222200000012111(3)4(3)2(3)222dxyxyxyrr，所以以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆外切.21.（1）()(2)fxfx的值为定值2.证明如下：2()(2)1ln1ln2xxfxfxxx22ln()2ln122xxxx.（2）由（1）得()(2)2(02)fxfxx.·8·令ixn，则()(2)2iiffnn(1,2,,21)in.因为1221()()(2)(2)nSffffnnnn①，所以1221(2)(2)()()nSffffnnnn②，由①+②得22(21)nSn，所以*21()nSnnN.所以20