广东省惠州市2012届高三4月模拟考试(理数)

广东省惠州市2012届高三第四次调研（一模）数学(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。参考公式：锥体的体积公式13VSh,其中S是锥体的底面积，h为锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．集合{4,5,3}Mm，{9,3}N，若MN，则实数m的值为（）A．3或1B．3C．3或3D．12．设,ab为实数，若复数121iiabi，则（）A．1,3abB．3,1abC．13,22abD．31,22ab3．“0a”是“20aa”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．非充分非必要4．公差不为零的等差数列{}na的前n项和为nS，若4a是37aa与的等比中项，832S，则10S等于（）A．18B．24C．60D．905．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（）A．10B．20C．30D．406．函数()sin()(0,0,||)2fxAxA的部分图象如图示，则将()yfx的图象向右平移6个单位后，得到的图象解析式为（）A．ysin2xB．ycos2xC．y2sin(2)3xD．ysin(2)6xy161112xO7．已知双曲线1222yx的焦点为21,FF，点M在双曲线上，且120MFMF，则点M到x轴的距离为（）A．3B．332C．34D．358．定义函数Dxxfy),(，若存在常数C，对任意的Dx1，存在唯一的Dx2，使得Cxfxf2)()(21，则称函数)(xf在D上的均值为C．已知]100,10[,lg)(xxxf，则函数]100,10[lg)(xxxf在上的均值为（）A．107B．43C．23D．10二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是人．10．右图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是.11．1232,2()log(1)2.xexfxxx，，则((2))ff的值为.12．由曲线2yx,3yx围成的封闭图形面积为.13．已知52315xx的展开式中的常数项为T，()fx是以T为周期的偶函数，且当[0,1]x时，()fxx，若在区间[1,3]内，函数()()gxfxkxk有4个零点，则实数k的取值范围是．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。14．（坐标系与参数方程选做题）曲线4cos23sinxy（为参数）上一点P到点2,0A、2,0B距离之和为．开始0,1sn()ssnn1nn3?n输出s结束是否15．（几何证明选讲选做题）如图，已知直角三角形ABC中，90ACB，4BC，3AC，以AC为直径作圆O交AB于D，则CD_______________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）设向量cossinmxx（，），(0,)x，(1,3)n．（１）若||5mn，求x的值；（２）设()()fxmnn，求函数()fx的值域．17．（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：1()fxx，22()fxx，33()fxx，4()sinfxx，5()cosfxx，6()2fx．（１）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（２）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．18．（本小题满分14分）已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．（１）求四棱锥P－ABCD的体积；（２）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；（３）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.19．（本小题满分14分）ABCDO第15题图已知数列}{na满足：1211,,2aa且2[3(1)]22[(1)1]0,nnnnaa*nN．（１）求3a，4a，5a，6a的值及数列}{na的通项公式；（２）设nnnaab212，求数列}{nb的前n项和nS．20．（本小题满分14分）已知椭圆:C22221(0)xyabab的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523.（１）求椭圆C的方程；（２）已知动直线(1)ykx与椭圆C相交于A、B两点.①若线段AB中点的横坐标为12，求斜率k的值；②已知点7(,0)3M，求证：MAMB为定值.21．（本小题满分14分）已知函数1ln(),(1)xfxxx（１）试判断函数)(xf的单调性，并说明理由；（２）若()1kfxx恒成立，求实数k的取值范围；（３）求证：22[(1)!](1),()nnnenN.数学（理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案ADACBDBC1．【解析】由MN可知39m或33m,故选A．2．【解析】1231122iabiii，因此31,22ab.故选D．3．【解析】因为200aaa或1a，所以“0a”能推出“20aa”，但“20aa”不能推出“0a”，故选A．4．【解析】由2437aaa得2111(3)(2)(6)adadad得1230ad,再由81568322Sad得1278ad则12,3da,所以1019010602Sad．故选C5．【解析】安排方法可分为3+2及2+3两类，则共有225220CA种分法，故选B．6．【解析】由图像知A=1,311341264T,T2,由sin(2)16,||2得326()sin(2)6fxx，则图像向右平移6个单位后得到的图像解析式为sin[2()]sin(2)666yxx，故选D．7．【解析】设12,MFmMFn，由2221212||2mnFFmn，得4mn，由121211||22FMFSmnFFd解得233d.故选B．8．【解析】Cxxxfxf2)lg(2)()(2121，从而对任意的]100,10[1x，存在唯一的]100,10[2x，使得21,xx为常数。充分利用题中给出的常数10，100．令10001001021xx,当]100,10[1x时，]100,10[100012xx，由此得.232)lg(21xxC故选C．二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只选做一题．9．76010．2711．212．112.13．10,4.14．815．1259．【解析】1600,,1600,10,760200xyxyxyy男生女生则．10．【解析】答案：27.由框图的顺序，s=0，n=1，s=(s+n)n=(0+1)*1=1，n=n+1=2，依次循环s=(1+2)*2=6，n=3，注意此刻33仍然是否，所以还要循环一次s=(6+3)*3=27，n=4，此刻输出s=27.11．【解析】11((2))(1)22fffe．12．【解析】结合图形可知所求封闭图形的面积为11233400111()()3412xxdxxx．13．【解析】按二项式公式展开得2T，函数()()gxfxkxk有4个零点，等价于函数1()yfx与2(1)ykx，再利用数形结合可得10,4k．14．【解析】曲线4cos23sinxy表示的椭圆标准方程为2211612xy，可知点2,0A、2,0B为椭圆的焦点，故28PAPBa．15．【解析】ADC为直径AC所对的圆周角，则90ADC，在RtACB中，CDAB，由等面积法有ABCDCACB，故得125CD．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）解：（1）(cos1,sin3),mnxx由||5mn得22cos2cos1sin23sin35xxxx…………3分整理得cos3sinxx显然cos0x∴3tan3x…………4分∵(0,)x，∴56x…………5分（2）(cos1,sin3),mnxx∴()()fxmnn＝(cos1,sin3)(1,3)xxcos13sin3xx＝312(sincos)422xx＝2sin()46x…………8分∵0x∴7666x…………9分∴1sin()126x12sin()26x…………10分∴32sin()466x，即函数()fx的值域为(3,6].…………12分17．（本小题满分12分）解：（1）六个函数中是奇函数的有1()fxx，33()fxx，4()sinfxx，由这3个奇函数中的任意两个函数相加均可得一个新的奇函数．……………2分记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知23261()5CPAC…………………4分（2）可取1,2,3,4……………………………………………5分13161(1)2CPC,113311653(2)10CCPCC1113321116543(3)20CCCPCCC,11113321111165431(4)20CCCCPCCCC………9分故的分布列为……………10分13317123421020204E答：的数学期望为74……………………………12分18．（本小题满分14分）解：(1)由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2.………………………………………………1分1234P12310320120∴11212333PABCDABCDVSPC，即四棱锥P－ABCD的体积为23.………3分(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.………………………………………………4分证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC.………………………5分∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC.………………………6分又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.………………………7分∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC.∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.………………………8分(3)解法1：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF.∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝12＋12＝2，AE＝A