广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之圆锥曲线方程-综合(知识点典型例题考点练习)

圆锥曲线综合.知识点一定义和性质的应用设F1、F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|，求|PF1||PF2|的值．解由题意知，a＝3，b＝2，则c2＝a2－b2＝5，即c＝5.由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25.(1)若∠PF2F1为直角，则|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2，|PF1|2－|PF2|2＝20.即|PF1|－|PF2|＝103，|PF1|＋|PF2|＝6，解得|PF1|＝143，|PF2|＝43.所以|PF1||PF2|＝72.(2)若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2或|PF1|＝2，|PF2|＝4(舍去)．所以|PF1||PF2|＝2.知识点二圆锥曲线的最值问题已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x225＋y29＝1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最值．解因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则A′(4,0)，由椭圆定义知|MA|+|MA′|=10.如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA′|+|MB||MA′|=10+|MB||MA′|≤10+|A′B|.当点M在BA′的延长线上时取等号．所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|A′B|=10+210.又如图所示，|MA|+|MB|=|MA|+|MA′||MA′|+|MB|=10(|MA′||MB|)≥10|A′B|，当M在A′B的延长线上时取等号．所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10|A′B|=10210.知识点三轨迹问题抛物线x2＝4y的焦点为F，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A、B，以AF，BF为邻边作平行四边形FARB，求顶点R的轨迹方程．解设直线AB：y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x，y)，由题意F(0,1)，由y＝kx－1x2＝4y，可得x2－4kx＋4＝0，∴x1＋x2＝4k.又AB和RF是平行四边形的对角线，∴x1＋x2＝x，y1＋y2＝y＋1.而y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝4k2－2，∴x＝4ky＝4k2－3，消去k得x2＝4(y＋3)．由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k2－160，∴k1或k－1，∴x4或x－4.∴顶点R的轨迹方程为x2＝4(y＋3)，且|x|4.知识点四直线与圆锥曲线的位置关系已知直线l：y＝kx＋b与椭圆x22＋y2＝1相交于A、B两点，O为坐标原点．(1)当k＝0,0b1时，求△AOB的面积S的最大值；(2)OA⊥OB→，求证直线l与以原点为圆心的定圆相切，并求该圆的方程．解(1)把y＝b代入x22＋y2＝1，得x＝±2－2b2.∴|AB|=2222b∴S△AOB=21×2222b·b=b222b=2b21b≤2·221222bb，当且仅当b2=21，即b=22时取等号．∴△AOB的面积S的最大值为22.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1+2k2)x2+4kbx+2b22=0，∴x1+x2=241kbk，x1·x2=222212bk.又∵OA⊥OB，∴(x1，y1)·(x2，y2)=0，即x1x2+y1y2=0.又x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=(k2+1)·x1x2+kb(x1+x2)+b2=(k2+1)222212bkkb241kbk+b2=222322012bkk，∴3b2=2k2+2.又设原点O到直线l的距离为d，则d=2222(1)|b|63311kkk.∴l与以原点为圆心，以63为半径的定圆相切，该圆的方程为x2+y2=32.考题赏析1．(陕西高考)已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N.(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；(2)是否存在实数k使NA·NB=0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．解(1)如图所示，设A(x1,2x12)，B(x2,2x22)，把y=kx2代入y=2x2，得2x2kx2=0，由韦达定理得x1x2=2k，x1x2=1，ks5u∴xN=xM=1224xxk，∴N点的坐标为2(,)48kk.设抛物线在点N处的切线l的方程为y28k=m()4kx，将y=2x2代入上式得2x2mx248mkk0∵直线l与抛物线C相切，∴Δ=m28（248mkk）=m22mkk2=(mk)2=0，∴m=k，即l∥AB.（2）假设存在实数k，使NA·NB→＝0，则NA⊥NB.又∵M是AB的中点，∴|MN|＝12|AB|.由(1)知yM＝12(y1＋y2)＝12(kx1＋2＋kx2＋2)＝12[k(x1＋x2)＋4]＝12k22＋4＝k24＋2.∵MN⊥x轴，∴|MN|＝|yM－yN|＝k24＋2－k28＝k2＋168.又|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋k2·k22－4×(－1)＝12k2＋1·k2＋16.∴k2＋168＝14k2＋1·k2＋16，解得k＝±2.即存在k=±2,使NA·NB→＝02．(福建高考)如图所示，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点为F(1,0)，且过点(2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M，(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；(ⅱ)求△AMN面积的最大值．解方法一(1)由题设a=2，c=1，从而b2=a2c2=3，所以椭圆C的方程为22143xy(2)(ⅰ)由题意得F(1,0)、N(4,0)．设A(m，n)，则B(m，n)(n≠0)，22143mn.①AF与BN的方程分别为：n(x－1)－(m－1)y＝0，n(x－4)＋(m－4)y＝0.设M(x0，y0)，则有n(x0－1)－(m－1)y0＝0，②n(x0－4)＋(m－4)y0＝0，③由②③得x0＝5m－82m－5，y0＝3n2m－5.由于x204＋y203＝(5m－8)24(2m－5)2＋3n2(2m－5)2＝(5m－8)2＋12n24(2m－5)2＝(5m－8)2＋36－9m24(2m－5)2＝1.所以点M恒在椭圆C上．(ⅱ)设AM的方程为x＝ty＋1，代入x24＋y23＝1，得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0.设A(x1，y1)、M(x2，y2)，则有y1＋y2＝－6t3t2＋4，y1y2＝－93t2＋4，|y1－y2|＝(y1＋y2)2－4y1y2＝43·3t2＋33t2＋4.令3t2＋4＝λ(λ≥4)，则|y1－y2|＝43·λ－1λ＝43－1λ2＋1λ＝43－1λ－122＋14，因为λ≥4,01λ≤14，所以当1λ＝14，即λ＝4，t＝0时，|y1－y2|有最大值3，此时AM过点F.△AMN的面积S△AMN＝12|NF|·|y1－y2|有最大值92.方法二同方法一．(2)(ⅰ)由题意得F(1,0)、N(4,0)，设A(m，n)，则B(m，－n)(n≠0)，m24＋n23＝1.①AF与BN的方程分别为n(x－1)－(m－1)y＝0，②n(x－4)＋(m－4)y＝0.③由②③得：当x≠52时，m＝5x－82x－5，n＝3y2x－5.④把④代入①，得x24＋y23＝1(y≠0)．当x＝52时，由②③得32n－(m－1)y＝0，－32n＋(m＋4)y＝0，解得n＝0，y＝0，与n≠0矛盾．所以点M的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)，即点M恒在椭圆C上．(ⅱ)同方法一.讲练学案部分章末检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点是(0,2)，则m的值是()A．－1B．1C．－1020D.102答案A解析化双曲线的方程为x21m－y23m＝1，由焦点坐标(0,2)知：－3m－1m＝4，即－4m＝4，∴m＝－1.2．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点P(k，－2)与点F的距离为4，则k等于()A．4B．4或－4C．－2D．－2或2答案B解析由题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p0)．则抛物线的准线方程为y＝p2，由抛物线的定义知|PF|＝p2－(－2)＝p2＋2＝4，所以p＝4，抛物线方程为x2＝－8y，将y＝－2代入，得x2＝16，∴k＝x＝±4.3．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±12x，则此双曲线的离心率为()A.52B.5C.52D．5答案B解析由已知可设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，∴±ab＝±12，∴b＝2a，∴b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2，∴c2＝5a2，∴c2a2＝5.∴e＝ca＝5.4．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线方程是()A．x＋2y－3＝0B．2x＋y－3＝0C．x－2y＋3＝0D．2x－y＋3＝0答案A解析设弦的端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.由x21＋2y21＝4，x22＋2y22＝4相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴(x1－x2)＋2(y1－y2)＝0，∴kAB＝－12.∴弦所在的方程为y－1＝－12(x－1)即x＋2y－3＝0.5．以x24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A.x216＋y212＝1B.x212＋y216＝1C.x216＋y24＝1D.x24＋y216＝1答案D解析方程可化为y212－x24＝1，该方程对应的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．由题意知椭圆方程可设为x2b2＋y2a2＝1(ab0)，则a＝4，c2＝a2－b2＝12，∴b2＝a2－12＝16－12＝4.∴所求方程为x24＋y216＝1.6．θ是任意实数，则方程x2＋y2cosθ＝4的曲线不可能是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆答案C解析由于没有x或y的一次项，方程不可能是抛物线，故选C.7．双曲线x24＋y2k＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－12,0)C．(－3,0)D．(－60，－12)答案B解析由题意a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，∴e2＝c2a2＝4－k4.又∵e∈(1,2)，∴14－k44，解得－12k0.8．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1,3)B．(1,3]C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)答案B解析由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|＝2|PF2|，如图所示．又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|＝2a，即|AF2|≤2a.∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a，∴c≤3a.又∵ca，∴ac≤3a，∴1ca≤3，即1e≤3.9．已知A为椭圆x216＋y212＝1的右顶点，P为椭圆上的点，若∠POA＝π3，则P点坐标为()A．(2,3)B.455，±4155C.12，±32D．(4，±83)答案B解析由y＝±3x及x216＋y212＝1(x0)得解．10．等轴双曲线x2－y2＝a2截直线4x＋5y＝0所得弦长为41，则双曲线的实轴长是()A.65B.125C.32D．3答案D解析注意到直线4x＋5y＝0过原点，可设弦的一端为(x1，y1)，则有1＋162