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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）在△ABC中，已知a=6，A=60°，C=45°，则c=（）A．2B．C．D．22．（5分）双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x3．（5分）等比数列{an}中，任意的n∈N*，an+1+an=3n+1，则公比q等于（）A．2B．3C．D．﹣4．（5分）设a＞0，b＞0，且a+b=2，则+的最小值为（）A．1B．2C．4D．4.55．（5分）设，则不等式f（x）＜x2的解集是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0]B．RC．①求和点G的坐标；②求异面直线EF与AD所成的角；③求点C到截面AEFG的距离．20．（14分）P是圆x2+y2=4上任意一点，P在x轴上的射影为M点，N是PM的中点，点N的轨迹为曲线C，曲线C1的方程为：x2=8（y﹣m）（m＞0）（1）求轨迹C的方程；（2）若曲线C与曲线C1只有一个公共点，求曲线C1的方程；文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站（3）在（2）的条件下，求曲线C和曲线C1都只有一个交点的直线l方程．广东省深圳市南山区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）在△ABC中，已知a=6，A=60°，C=45°，则c=（）A．2B．C．D．2考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，把sinA，sinC以及a的值代入计算即可求出c的值．解答：解：∵在△ABC中，a=6，A=60°，C=45°，∴由正弦定理=得：c===2，故选：D．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据双曲线的渐近线方程的求法，直接求解即可．解答：解：双曲线的渐近线方程是，即．故选C．点评：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，双曲线的基本性质的应用，考查计算能力．3．（5分）等比数列{an}中，任意的n∈N*，an+1+an=3n+1，则公比q等于（）A．2B．3C．D．﹣考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：把n=1、2分别代入已知的式子，并利用等比数列的通项公式化简求出公比q的值．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站解答：解：∵等比数列{an}中，任意的n∈N*，an+1+an=3n+1，∴a2+a1=32，a3+a2=qa2+qa1=33，两个式子相除可得，公比q=3，故选：B．点评：本题考查了等比数列的通项公式，以及递推公式的化简，属于基础题．4．（5分）设a＞0，b＞0，且a+b=2，则+的最小值为（）A．1B．2C．4D．4.5考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得+=（+）（a+b）=（2++），由基本不等式求最值可得．解答：解：∵a＞0，b＞0，且a+b=2，∴+=（+）（a+b）=（2++）≥（2+2）=2当且仅当=即a=b=1时取等号，故选：B点评：本题考查基本不等式，属基础题．5．（5分）设，则不等式f（x）＜x2的解集是（）A．（2，+∞）∪（﹣∞，0]B．RC．，综上原不等式的解集为（2，+∞）∪（﹣∞，0]．故选A点评：本题考查了不等式的解法及分段函数，考查分类讨论的思想，本题解题的关键是对于求出的范围一定要和分段函数的范围分别并起来，本是一个基础题．6．（5分）已知x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是（）A．B．C．D．2考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形ABCD及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=时，目标函数z取得最大值．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD及其内部，其中A（，），B（3，），C（3，4），D（0，3）设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（3，）=2×3﹣=故选：B点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x﹣y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，x3＜0B．“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件C．∀x∈R，2x＞0D．“x＜2”是“|x|＜2”的充分非必要条件考点：特称命题；全称命题．专题：探究型．分析：对各命题逐个进行判断．A，显然x为负数时，恒成立；B，a＞0时，|a|＞0，反之，a可以是负数；C，利用指数函数的性质，可知∀x∈R，2x＞0；D，x＜2时，|x|＜2不一定成立，反之，|x|＜2时，x＜2成立，故可得结论．解答：解：对于A，显然x为负数时，恒成立，故A为真命题；对于B，a＞0时，|a|＞0，反之，a可以是负数，所以“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件，故B为真命题；对于C，利用指数函数的性质，可知∀x∈R，2x＞0，故C为真命题；对于D，x＜2时，|x|＜2不一定成立，反之，|x|＜2时，x＜2成立，“x＜2”是“|x|＜2”的必要非充分条件，故D为假命题文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站．点评：本题考查命题的真假判断，考查四种条件的判断，解题时需对各命题逐个进行判断．8．（5分）某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是（）小时．A．B．C．D．1考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：设两船在B点碰头，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，由题设知AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由余弦定理，知（21x）2=100+（9x）2﹣2×10×9x×cos120°，由此能求出舰艇到达渔船的最短时间．解答：解：设两船在B点碰头，由题设作出图形，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，则AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由余弦定理，知（21x）2=100+（9x）2﹣2×10×9x×cos120°，整理，得36x2﹣9x﹣10=0，解得x=，或x=﹣（舍）．故选：B．点评：本题考查解三角形在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则¬p是∀x∈R，x2+2x≠3．考点：命题的否定．专题：规律型．分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解答：解：∵命题p：∃x∈R，x2+2x=3是特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题，得¬p：∀x∈R，x2+2x≠3．故答案为：∀x∈R，x2+2x≠3．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握含有量词命题的否定的形式，比较基础．10．（5分）焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线的标准方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的几何量a，b，c即可求出双曲线方程．解答：解：焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线，可得c=10，a=8，b=6，焦点坐标为（0，10），离心率是的双曲线的标准方程为：．故答案为：．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．11．（5分）函数y=的最大值为．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用基本不等式，求得函数y=的最大值．解答：解：函数y=≤=，当且仅当2x2=1﹣2x2，即x2=时，取等号，故函数y=的最大值为，故答案为：．点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．12．（5分）在等差数列{an}中，已知a4+a14=1，则S17=1．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a1+a17=a4+a14，代入求和公式计算可得．解答：解：由等差数列的性质可得a1+a17=a4+a14=1，文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站∴由求和公式可得S17==1故答案为：1点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．13．（5分）边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为120°．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：直接利用余弦定理求出7所对的角的余弦值，求出角的大小，利用三角形的内角和，求解最大角与最小角之和．解答：解：根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，所以由余弦定理可知cosθ==，所以7所对的角为60°．所以三角形的最大角与最小角之和为：120°．故答案为：120°．点评：本题考查余弦定理的应用，三角形的边角对应关系的应用，考查计算能力．14．（5分）记max{a，b}=，f（x）=max{|x﹣m|，|x+1|}，若存在实数x，使得f（x）≤1成立，则实数m的取值范围是．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用；简易逻辑．分析：存在实数x，使得f（x）≤1成立的否定是任意实数x，恒有f（x）＞1成立；从而可得m＜﹣3或m＞1；从而求实数m的取值范围．解答：解：存在实数x，使得f（x）≤1成立的否定是任意实数x，恒有f（x）＞1成立；当x＞0或x＜﹣2时，|x+1|＞1，故f（x）＞1成立；当﹣2≤x≤0时，|x+1|≤1，故|x+m|＞1在上恒成立，故m＜﹣3或m＞1；故存在实数x，使得f（x）≤1成立时，实数m的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查了命题的否定与分段函数的应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．三、解答题（本题共6小题，共80分）15．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+c2﹣ac=b2．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用余弦定理表示出cosB，把已知等式变形后代入计算求出cosB值，即可求出B的度数；（2）利用正弦定理化简sinC=2sinA，得到c=2a，利用余弦定理列出关系式，求出a与c的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（1）∵△ABC中，a2+c2﹣ac=b2，即a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，则B=；（2）把sinA=2sinC，利用正弦定理化简得：a=2c，∵b=3，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=4c2+c2﹣2c2，解得：c=，a=2，则S△ABC=acsinB=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=，设数列{bn}前n项和为Gn，求证：Gn．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．利用a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得出；（2）bn==，利用“裂项求和”、“放缩法”即可得出．解答：（1）解：∵数列{an}的前n项和Sn=，n∈N*．文档来源：弘毅教育园丁网数学