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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站月统测数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B∪（∁UA）=（）A．{5}B．{1，2，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，且（a+i）i=b﹣2i，则a+b=（）A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣33．（5分）已知α为锐角，且tan（π﹣α）+3=0，则sinα的值是（）A．B．C．D．4．（5分）若a，b，c成等比数列，则函数f（x）=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（）A．0B．1C．2D．不确定的5．（5分）已知命题P1：∃x0∈R，x02+x0+1＜0；P2：∀x∈[1，2]，x2﹣1≥0．以下命题为真命题的是（）A．￢P1∧￢P2B．P1∨￢P2C．￢P1∧P2D．P1∧P26．（5分）下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．f（x）=2﹣x﹣2xC．f（x）=﹣tanxD．7．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．60B．54C．48D．248．（5分）已知变量x，y满足，则z=3x+y的最大值为（）A．4B．5C．6D．7文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站．（5分）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=9.5时，x3等于（）A．10B．9C．8D．710．（5分）已知两个点M（﹣5，0），N（5，0），若直线上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“hold直线”．给出下列直线：①y=x，②y=2x+1，③y=x+1，则这三条直线中有（）条“hold直线”．A．3B．2C．1D．0二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.（一）必做题（11-13题）11．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（3，﹣6），且⊥，∥，则（+）•=．12．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是．13．（5分）观察下列等式13=113+23=913+23+33=3613+23+33+43=100…文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站照此规律，第6个等式可为．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为．【几何证明选讲选做题】15．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=9，C是圆上一点使得BC=4，∠BAC=∠APB，则AB=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．17．（12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区ABC数量50150100（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．18．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=2AB=2，且BC1⊥A1C．（Ⅰ）求证：平面ABC1⊥平面A1C1CA；（Ⅱ）设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使DE∥平面ABC1；若存在，求三棱锥E﹣ABC1的体积．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站．（14分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n2+pn+q（p，q∈R），且a2，a3，a5成等比数列．（1）求p，q的值；（2）若数列{bn}满足an+log2n=log2bn，求数列{bn}的前n项和Tn．20．（14分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．21．（14分）已知函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（﹣3，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣4，﹣1]上的最小值．广东省深圳市石岩公学2015届高三上学期12月统测数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B∪（∁UA）=（）A．{5}B．{1，2，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅考点：补集及其运算；并集及其运算．专题：计算题．分析：先求出∁UA，再由集合的并运算求出B∪（∁UA）．解答：解：∵CUA={1，5}∴B∪（∁UA）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}．故选B．点评：本题考查集合的运算，解题时要结合题设条件，仔细分析，耐心求解．2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，且（a+i）i=b﹣2i，则a+b=（）文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3考点：复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式左边的复数利用复数的多项式乘法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a和b，则a+b可求．解答：解：由（a+i）i=b﹣2i，可得：﹣1+ai=b﹣2i．∴．∴a+b=﹣3．故选：D．点评：本题考查复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，此题是基础题．3．（5分）已知α为锐角，且tan（π﹣α）+3=0，则sinα的值是（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式利用诱导公式变形，求出tanα的值，根据α为锐角，求出cosα的值，即可求出sinα的值．解答：解：∵α为锐角，且tan（π﹣α）+3=﹣tanα+3=0，即tanα=3，∴cosα==，则sinα==．故选：B．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．（5分）若a，b，c成等比数列，则函数f（x）=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（）A．0B．1C．2D．不确定的考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据a，b，c成等比数列，得出b2=ac且ac＞0，令ax2+bx+c=0，求出△＜0，判断出方程无根，进而判断函数f（x）=ax2+bx+c与x轴无交点．解答：解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac∴ac＞0∴△=b2﹣4ac=﹣3ac＜0∴方程ax2+bx+c=0无根，即函数f（x）=ax2+bx+c与x轴无交点．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站点评：本题主要考查了等比数列的性质，特别是等比中项的利用．属基础题．5．（5分）已知命题P1：∃x0∈R，x02+x0+1＜0；P2：∀x∈[1，2]，x2﹣1≥0．以下命题为真命题的是（）A．￢P1∧￢P2B．P1∨￢P2C．￢P1∧P2D．P1∧P2考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：先判定命题命题P1与P2的真假，再确定￢p1与￢p2的真假，从而选项中正确的命题．解答：解：∵命题P1：∃x0∈R，x02+x0+1＜0是假命题，∵x2+x+1=+＞0是恒成立的；∴￢p1是真命题；∵P2：∀x∈[1，2]，x2﹣1≥0是真命题，∵x2﹣1≥0时，解得x≥1，或x≤﹣1，∴对∀x∈[1，2]，x2﹣1≥0成立，∴￢p2是假命题；∴A中￢p1∧￢p2是假命题，B中p1∨￢p2是假命题，C中￢p1∧p2是真命题，D中p1∧p2是假命题；故选：C．点评：本题考查了复合命题的真假问题，解题时应先判定命题命题P1与P2的真假，从而确定￢p1与￢p2的真假．6．（5分）下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．f（x）=2﹣x﹣2xC．f（x）=﹣tanxD．考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用奇偶函数的概念与函数单调性的概念对四个选项逐一判断即可．解答：解：A，∵f（x）=的定义域为{x|x≤0}，不关于原点对称，不是奇函数，故A错误；B，∵f（x）=2﹣x﹣2x，∴f（﹣x）=2x﹣2﹣x=﹣（2﹣x﹣2x）=﹣f（x），∴f（x）=2﹣x﹣2x是奇函数；C，∵奇函数y=﹣tanx在每一个区间（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）是减函数，并不是定义域上的减函数，故C错误；D，y=在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，并不是在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上单调递减，故D错误；文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站综上所述，B正确．故选：B．点评：本题考查函数奇偶性与函数单调性的判断，考查分析运算能力，属于中档题．7．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．60B．54C．48D．24考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，根据三视图判断底面三角形相关几何量的数据及棱柱的高的数据，把数据代入棱柱的表面积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，侧棱长为4，底面三角形为直角三角形，直角边长分别为3，4，斜边长为5．∴几何体的表面积S=S棱柱侧+S底面=（3+4+5）×4+2××3×4=48+12=60．故选：A．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．8．（5分）已知变量x，y满足，则z=3x+y的最大值为（）A．4B．5C．6D．7考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站解答：解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为A（2，1），（1，0），（1，3），验证知在点A（2，1）时取得最大值，当直线z=3x+y过点A（2，1）时，z最大是7，故选D．点评：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9．（5分）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=9.5时，x3等于（）A．10B．9C．8D．7考点：选择结构．专题：计算题；图表型．分析：根据已知中x1=6，x2=9，p=9.5，根据已知中的框图，分类讨论条件|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|满足和不满足时x3的值，最后综合讨论结果，即可得答案．文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站