广东金融学院课程教案(一二章1-4次课)

课程名称：数学模型课程代码：开课系（部）：应用数学系制定人：赵梅春审核人：制定时间：2008年1月广东金融学院教务处制一、课程简介课程类别：专业必修课授课对象：本科层次应用数学专业学时与学分：共54学时，3学分使用教材：数学模型姜启源谢金星叶俊高等教育出版社2000参考教材：数学模型杨启帆浙江大学出版社数学模型任善强高等教育出版社二、教学目的与教学要求：数学模型是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际生活中存在问题的一门边缘交叉学科，数学建模是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。主要介绍数学建模的概述、初等模型、简单优化模型、微分方程模型、差分方程模型、概率统计模型、图论模型、线性规划模型等模型的基本建模方法及求解方法。数学模型是继本科生高等数学、工程数学之后进一步提高运用数学知识解决实际问题、基本技能，培育和训练综合能力所开设的一门新学科。数学建模课是综合能力的培养，通过数学建模数学教学活动促进理工结合，学科交叉，提高学生整体实力。在教学中注重学生思想培养，提高学生学习兴趣。通过具体实例引入使学生掌握数学建模基本思想、基本方法、基本类型。学会进行科学研究的一般过程，并能进入一个实际操作的状态。通过数学模型有关的概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生双向翻译能力，数学推导计算和简化分析能力，熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力、综合分析能力；培养学生应用数学解决实际问题的能力。第1、2次课6学时本次课教学难点：教学重点是使学生了解数学建模的思想。本次课教学内容1从现实对象到数学模型-数学建模基本过程2数学建模的重要意义3数学建模示例4数学建模的方法和步骤5数学模型的特点和分类6怎样学习数学建模和如何写好数学建模竞赛论文答卷教学方法及工具以多媒体为载体进行讲授式启发式教学。教学过程数学模型，就是针对或参照某种问题（事件或系统）的特征和数量相依关系，采用形式化语言，概括或近似地表达出来的一种数学结构.1．数学建模基本过程问题分析也常称为模型准备或问题重述．由于数学模型是建立数学与实际现象之间的桥梁，因此，首要的工作是要设法用数学的语言表述实际现象．所谓问题重述是指把实际现象尽量地使用贴近数学的语言进行重新描述．为此，要充分了解问题的实际背景，明确建模的目的，尽可能弄清对象的特征，并为此搜集必需的各种信息或数据．要善于捕捉对象特征中隐含的数学因素，并将其一一列出．至此，我们便有了一个很好的开端，而有了这个良好的开端，不仅可以决定建模方向，初步确定用哪一类模型，而且对下面的各个步骤都将产生影响．模型假设（即合理假设）是与问题分析紧密衔接的又一个重要步骤．根据对象的特征和建模目的，在问题分析基础上对问题进行必要的、合理的取舍简化，并使用精确的语言作出假设，这是建模至关重要的一步.这是因为，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设，将很难于转化成数学模型，即便转化成功，也可能是一个复杂的难于求解的模型从而使建模归于失败.当然，假设作得不合理或过份简单也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败.一般地，作出假设时要充分利用与问题相关的有关学科知识，充分发挥想象力和观察判断力，分清问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素．2.建模常用的方法(1)机理分析法是立足于事物内在规律的一种常见建模方法，主要是依对现实对象的特性有较为清楚的了解与认识，通过分析其因果关系，找出反映其内部机理的规律性而建立其模型的一种方法.(2)类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构.(3)所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样.(4)微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的．(5)图示法是利用几何图示建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽.(6)数据分析法(基于测试数据的经验模型)的基本流程如下：①给出实际调查数据.调查的数据一定要具有充分的代表性，可以通过系统抽样、分层抽样等抽样方法获得样本数据.另外，样本容量也不要太小，否则所得结果不具有代表性.②将样本数据绘制成数据散布图.这是对数据进行分析最有效的第一步.为此，务必使用坐标纸绘制以求图象准确，为进一步的分析打好基础.当然能利用计算机绘制更好.③对散布图进行分析.这一步往往可获得对所表达变量关系的一定认识，形成初步看法，确定整体数据结构是否脱离实际.若所反映实际现象与散布图出现太大差距，则这批数据应当废弃.④根据散布图分析结果选择相类似函数关系，采用适当方法建立经验公式.这里也同样有一个简单化原则：即在满足问题精度要求的前提下，尽量选择形式简单的数学表达式.⑤模型分析、检验与修改.由于经验模型本身具有不确定性，并且这类模型的作用也常常是为了对所关心系统做出某种预测、控制.因此，检验其结果的合理性，误差分析和修改模型等是必要的.3.数学模型实例(1)方桌问题把方桌置于地面上时，常常是只有三只脚着地而放不稳，通常需要调整几次方可将方桌放稳,试用数学语言对此问题给以表述，并用数学工具给予说明：方桌能否在地面上放稳?若能，请给予证明并给出做法，否则说明理由.步骤一：问题分析所谓方桌能否在地面放稳是指方桌的四个脚能否同时着地，而四个桌脚是否同时着地是指四个桌脚与地面的距离是否同时为零.于是我们可以转而研究四个桌脚与地面的距离（函数）是否同时等于零.这个距离是变化的，于是可视为函数，那么作为函数，它随哪个量的改变而改变？构造这个距离函数成为主要建模目的.为了构造函数和设定相关参数，让我们实际操作一下，从中搜集信息，弄清其特征.要想四个桌脚同时着地，通常有两种方法，其一是将方桌搬离原地，换个位置试验，另一个做法是原地旋转试验.前法需要研究的范围可能要很大，这里采取第二种做法.通过实地操作，易得出结论：只要地面相对平坦，没有地面大起大落情况，那么随着旋转角度的不同，三只脚同时落地后，第四只脚与地面距离也不同（不仅如此，旋转中总有两个脚同时着地，另两个脚不稳定）.也就是说，这个距离函数与旋转角度有关，是旋转角度的函数.于是一个确定的函数关系找到了，不仅如此，我们的问题也顺其自然地转化为：是否存在一角度，使得四个距离函数同时为零?综上分析，问题可以归结为证明函数的零点的存在性，遂决定试用函数模型予以处理.步骤二：合理的简化假设依前面的问题分析，我们可作如下假设：1．桌子的四条腿同长(这个假设显然合理，而且避免了问题与桌腿长度有关使问题变复杂).2．将方桌的桌脚与地面接触处看成是一个几何点，四脚连线为正方形(这是因为问题本身考虑的是能否四脚着地而与方桌样式，桌腿粗细等无关).3．地面相对平坦，即在旋转所在地面范围内，方桌在任何位置至少有三只脚同时着地(自然这是符合实际的合理假设).4．地面高度连续变化，可视地面为数学上的连续曲面.步骤三建立模型依假设条件，四个桌脚连线呈正方形，因而以其中心为对称点，令正方形绕中心旋转便表示了方桌位置改变，于是可以用旋转角度的变化表达桌子的不同位置.为了确定起见，我们以这个正方形中心为原点建立平面直角坐标系，并假设旋转开始时(角度0)，四个桌脚点A、B、C、D中A、C位于x轴上，则B、D位于y轴上.旋转角度后，点A、B、C、D变到点A’、B’、C’、D’（图1-1），显然，随着的改变，方桌的位置也跟着改变，从而桌脚与地面距离也随之改变.注意到试验结果，尽管方桌有四只脚，因而有四个距离，但对于每个角度，总有点A、C同时着地而B、D点不同时着地或B、D点同时着地，而A、C点不同时着地，故只要设两个距离函数即可.设A、C两脚与地面距离之和为)(f，B、D两脚与地面距离之和为)(g，且作为距离函数的)(f)(,g均为非负函数.图1-1由假设4，)(f与)(g均为连续函数，而由假设3，对任一角度，恒有)(f=0而0)(g或)(g=0而0)()(0)(gff对任意成立.又为证明存在角度0，使)(0f=0,)(0g=0同时成立，还需要条件支持.注意到在初始位置)0(，或)0(f=0,)0(g0或)0(f0，)0(g=0，而旋转90º后，两组条件恰好交换.如此，方桌通过旋转改变位置能放稳的证明，便归结为证明如下的数学命题：已知)(f)(,g是的连续函数，对任意，0)()(gf且0)0(f时0)2(0)2(,0)0(gfg时.求证：存在]2,0[0，使)(0f=)(0g=0.这就是方桌问题的数学模型.易见只需引进一个变量及其一元函数)(f)(,g，便把模型条件和结论用简单又精确的数学语言表述出来.从而形成所需要的数学模型.步骤四求解数学模型容易看出本模型属于一元连续函数的零点存在性问题，使用介值定理便可轻松证明它.这里从略.步骤五模型分析、检验、修改与推广因本例非常直观和简单，模型的分析、检验和修改就略去了，但模型可推广为方桌的四个脚呈长方形情形的证明，希望大家要重视这个问题.(2)人口增长模型假设开始时的人口数为0x，那么人口增长模型的初值问题为0)0(,ddxxrxtx模型的解为：trxtxe)(0模型修改后的阻滞增长模型或罗捷斯蒂克模型（Logistic）：0)0()1(ddxxxxxrtxm其中mx为自然资源和环境条件等因素所能容纳的最大人口数量.该模型的解为：trmmxxxtxe)1(1)(0(3)均衡价格设p是商品价格，Q表示商品需求量且仅与价格p有关，即Q=Q(p)，但)(tpp.一般设)(pQ为p的线性函数（线性化）btaptQ)()(式中ba,均为正常数，b——该商品的社会最大需求量.同理，设)(pGG表示供给函数，)(tpp并且dtcptG)1()(式中dc,均为正数，cd/为厂方可能接受的最低价格.)(tp写成)1(tp是因为商品的生产需一定的时间(一个生产周期)，价格对商品的供给量的影响有一定的滞后作用.则均衡价格为：adbtpactp)1()(设)0(0pp是该商品的初始价格，通过递推过程得到时时0,0,))(()(00catadbpcacadbaccadbptpt①当初始价格0p恰好为cadb时，由上式知，对任意t有cadbtp)(称cadb为静态均衡价格.可见，若初始价格为静态价格，则价格始终不变，整个供给过程变为静态.②当初始价格不是均衡价格时，)(tp随时间的推移而变化，供给过程变成一个动态过程.若ca，由于tac)(越来越小，价格会越来越接近于均衡价格；若ca，由于tac)(无限增大，价格会逐渐远离静态均衡价格；若ca，由于ttac)1()(不确定而使价格在均衡价格上下波动.(4)存储模型（确定型）设商品每天销售量为常数R，商品的进货时间间隔为常数T，且进货量为常数Q，进货一次手续费也是常数bc，单位商品存储费sc元/天.又设开始时的库存量为Q，到第T天时库存量降为零.且销售是连续均匀的，故在周期内平均存量为Q/2.于是平均每天的支出为TccQTcbs2)(因为Q=RT，于是TcRTcTcbs2)(模型的解（最优进货量）为：RccTcRcQQsbsb2,2**上式为存储论中著名的经济订购批量公式，简称EOQ(EconomicOrderingQuantity)公式.(5)货币的