广东高考文科数学立体几何复习策略塘厦中学陈展育

广东高考文科数学立体几何复习策略东莞市塘厦中学陈展育【摘要】本文根据广东省高考文科数学考试要求，针对立体几何知识特点与文科生在学习立体几何中出现的问题，从知识储备、思维方向、解题意识等方面提出相应复习策略，以此提高高考复习效率，帮助文科生树立起学习立体几何的信心。【关键词】广东文科数学；立体几何；复习策略1高考中的立体几何与文科生立体几何学习现状立体几何是高考重点考察对象，纵观广东近几年高考文科数学，有关立体几何的试题主要分为两大类：一是空间线面关系（平行与垂直）的判断与证明；二是几何量（如面积、体积）的计算。考察形式一般以一道客观题和一道主观题为载体，所占分值较为稳定。文科立体几何在空间角（教材中有异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念，但考试大纲的说明中没有提及）与空间向量上不做要求，因此难度较理科小，在高考中多以中等难度体现。由于大部分文科生基础较为薄弱，空间想象能力不强，普遍对立体几何存在畏惧心理，加上文科生有偏重记忆学习的特点，面对立体几何中的大量定理，如不能在理解的基础上记忆，随之复习的深入，容易出现思维混乱，最终对立体几何缺乏信心。2复习策略2.1做好知识储备这是复习最基本的要求。掌握该部分内容的定义、公理和定理，以其相互之间的关系，是学好立体几何的基本保障。鉴于立体几何的特殊性，在复习时，要让学生用三种数学语言（文字语言、图形语言、符号语言）去描述相应定义、公理和定理，并训练学生在描述的过程中能熟练进行三种语言之间的相互转化，这样方能让学生在理解的基础是上进行记忆。下面两图揭示了立体几何中直线与平面位置关系相关定理与结论之间的关系，是立体几何最为核心部分的内容，也是学生需要重点掌握的知识。图2.1图2.2说明：图2.1③指的是“如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行”，图2.2④指的是线面垂直定义的逆用，即“一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内的任意一条直线都垂直”。其他定理在教材中皆有现成定理。2.2从不同的思维方向去寻找思路2.2.1初中方法与高中方法的选择主要在证明直线与直线的位置关系上。比如，学生在初中阶段就以学习了证明线线平行与垂直的方法：平行线判定定理，平行四边形对边相互平行，三角形中位线与第三边平行；用勾股定理证明垂直，等腰（边）三角形底边的中线与底边垂直，菱形对角线互相垂直且平分，直径所对圆周角为直角等。虽然这些定理或结论都是针对在同一平面上的直线而言，但在高中阶段依然起到很大作用（异面直线可以通过平移进行转移，2.3.3有叙述），往往是我们想得到线线平行或垂直的第一选择。高中阶段，在空间中探寻两直线平行于垂直，可用图2.1中的④、⑤得到线线平行，也可用“垂直于同一个平面的两条直线相互平行”得到；同样可用图2.2中的④得到线线垂直。例1如图2.3，四棱柱1111ABCDABCD的底面ABCD是平行四边形，,EF分别在棱11,BBDD上，且1AFEC．求证：1AEFC；分析：若从初中的角度（多数学生想去证明四边形1AECF是平行四边形）考虑，该题无法直接得证，因此我们自然会想到高中的方法，可用图2.1的⑤解决，即由面面平行推出线线平行。解答：由11//AFECAECF知、、、共面在四棱柱1111ABCDABCD中，1111//ABBACDDC平面平面∵111=AECFABBAAE平面平面1111AECFCDDCFC平面平面故1AEFC2.2.2“从下往上”与“从上往下”两个角度的选择若将线线关系、线面关系和面面关系依次看成从低层到高层的关系，那么我们想证明线面平行（垂直）时，既可考虑由线线平行（垂直）得到，也可考虑由面面平行（垂直）得到，因此我们有两个不同的思维角度：一是“从下往上”的角度，如图（1）中的①②，图（2）中的①②；二是“从上往下”的角度，如图（1）③④⑤，图(2）③④。例1证明线线平行正是由“从上往下”的思路得到。例2如图2.4所示，PA是圆柱的母线，ABCD为矩形且四个顶点都在圆柱底面的圆周上,E、F、G分别是线段PA，PD，CD的中点。求证：PB//面EFG。图2.4解析：（1）从下往上的思路，即采取图2.1定理①，取AB中点M，连结GM，ME，易知M、G、F、E四点共面，下面只需证明//PBEM即可；图2.3A1ABCDC1B1D1FE（2）从上往下的思路，即采取图2.1定理③，只需证明平面//PBCEFG平面即可，对多数学生来说该思路较前一思路简单。因此，证明直线与平面的位置关系，不能局限于判定定理（从下往上），应将思路放开，当直接用判定定理难以直观地找到我们所需的条件时，可从性质定理（从上往下）入手，往往能见奇效。2.3培养学生三种解题意识2.3.1平面化意识将空间问题平面化，降低了问题所属背景的维度，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，达到化繁为简的目的。在空间几何体中，有些位置关系与长度关系对空间想象能力较弱的学生难以发现，此时若将问题平面化便可将问题直观的呈现在学生面前，大大减少学生脑力负担。例3如图2.5，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________．图2.5图2.6解析：这里求CP＋PA1的最小值，而CP与PA1在直三棱柱ABC－A1B1C1的两个不同平面内，无法直观得到结论。若此时连A1B后沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内（如图2.6），那么问题就自然化为平面问题，连A1C，当A1、P、C共线时，CP＋PA1取得最小值，即为A1C的长度，可求得A1C＝.将几何体的侧面展开，空间问题转化成平面问题来解决，这是立体几何分支中常用的降维转化思想。另外，有些问题（比如求某段线段长，求某个三角形面积等）在空间几何体中显得不够直观，这时如果将研究对象所在平面画（“特写”）出来，问题往往能轻易解决。例4如图2.7，在四棱锥P一ABCD中．底面ABCD为菱形，060BAD，PA=PD=AD=2，Q为AD的中点。(1)点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB;(2)在（1）的条件下，若平面PADABCD平面,求三棱锥-PBMQ的体积图2.7解析：（1），并不难想到连接ACBQNMN交于点，并连接，如图2.8，该题的难点在于如何确定t的值.图2.8要使得使PA∥平面MQB，则必有//PAMN,此时进行第一次平面化，将平面PAC“特写”出来（如图2.9）图2.9可见，当N点确定时，M点也随之确定。而N点在底面，故进行第二次平面化，将底面“特写”（如图2.10）出来，可见在菱形ABCD中，点N是一个确定的点，易知AQN∽CBN,从而有12ANAQCNCB,即有12ANNC，回到图2.9，可见，12ANPMNCMC,故可得13t图2.10（2）分别见2.3.2与2.3.3例5如图2.11，在四棱锥PABCD中，ABPAD平面，//,ABCDPDAD，EPB是中点，F是CD上的点，且12DFAB，PHPADAD为中边上的高。(1)证明：PHABCD平面；(2)若121PHADFC，，，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EFPAB平面．图2.11解析：.(1)略；(2)易得PHABCD底面,E是PB中点,故点E到面BCF的距离1122hPH，在接下来求BCF的面积时，让一部分学生摸不着头脑，甚至认为题目条件可能不足。此时若将底面ABCD“特写”出来（如图2.12），底面图形特点及线与线之间的关系即刻明朗。图2.12在直角梯形ABCD中，易知AD的长即为BCF的高（以FC为底），BCF的面积显然十分容易求得，最终不难求出三棱锥EBCF的体积为212；(3)见2.3.32.3.2快速捕捉线面垂直的意识垂直是高考立体几何命题的重点，有人说在立体几何中“处处有垂直，垂直无处不在”，说的正是垂直关系的重要性。其中，线面垂直是重点中的关键，一方面由于它下可推出线线垂直，上可推出面面垂直，在垂直关系中处于核心地位；另一方它是解决体积问题的先决条件,一个典型的例子是在求三棱锥的体积时，以哪个面为底面，这取决于所选的平面容不容易找到垂线（该垂线可能是三棱锥的高所在的直线，也可能是高的平行线）。因此，在解决立体几何问题时，要培养学生快速捕捉线面垂直的意识，笔者在实际教学中发现，善于捕捉线面垂直的学生，其在立体几何的学习中往往比别人抢得先机，轻松应对。例6如图2.13所示，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E、F分别为1DD、DB的中点．（1）求证：EF//平面11ABCD；（2）求证：1EFBC；（3）求三棱锥1BEFC的体积．CDBFED1C1B1AA1解析：（1）可由1//EFBD得证；（2）由（1）1//EFBD知，要证1EFBC只需证11BCBD此时，如果学生能快速捕捉到111BCABCD面,这在正方体中并不难发现，问题便可迎刃而解;图2.13（3）同样，学生要捕捉到11CABDDB面(即11CFBDDB面),于是11BEFFCBEFVV=113BEFSCF，详细解答略去.从上例的(2)、（3）可见快速捕捉线面垂直在解决垂直关系与体积问题中具有很强的实效性与重要性。又如在例4（2）中，在该意识的指引下，学生若能捕捉到ADPBQBCPBQ平面（即平面）,即可以PBQ平面作为三棱锥的底，进而得1133PBMQMPQBPBQVVSCB，该问题便可顺利解决.2.3.3平行转移的意识利用平行线的传递性或线面平行的性质将原问题转化为较容易解决的问题，是立体几何常用的解题技巧，这是学生要经历的一个宝贵经验，也是需要培养的解题意识。如例6（2）即是在该意识下进行的方法，将要证明的1EFBC转化为证明11BCBD.同样的，在例5（3），要直接证EFPAB平面，难以找到思路，于是考虑将直线EF进行平行转移，如图2.14，设GPA是的中点，分别连接GEDG和，易得四边形DFEG是平行四边形即有//EFGD，问题便可转化为证明DGPAB平面，问题就变得简单了.图2.14该意识在解决体积问题时也有用武之地，此处利用平行线转移的技巧给出例4（2）的另一种解法，根据第一问可知，PA∥平面MQB，于是点P与点A到平面MQB的距离相等，故所求三棱锥P-MQB的体积可转化三棱锥A-MQB的体积，从而1233AMQBMAQBAQBVVSPQ平行转移意识，在不少题目中往往能使问题简单化，效果明显，在立体几何中可被广泛应用，这也是在化归思想的指导下出现的一个解题思路。3几个易错点与被忽视点先看笔者在教学情况中记录下来的学生的一些错解与遇到的问题例7如图2.15，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AC＝AA1，CD⊥AC1，E、F分别是BB1、CC1中点。（1）证明：//DEFABC平面平面；1CDAEC（2）证明：平面（1）错解1：在1ACC中，11=CACCCDAC，，DAC为的中点，又因为1//FCCDFAC是的中点，，在矩形1111BCBCEFBBCC中，、分别是、的中点，//EFBCDFEFF又，图2.15//DEFABC平面平面错解2：在矩形1111BCBCEFBBCC中，、分别是、的中点，//EFBCEFABCBCABC且平面，平面//EFABC平面，又EFDEF平面//DEFABC平面平面（2）遇到问题：该问题可通过证明1CDACCDDE与,得到1CDAEC平面，1CDAC较容易证明，CDDE而的证明有如下两个思路：①在CDE中用勾股定理证明，但首先必须在DEFDE中求得；②证明1DEACC平面,同样必须在DEFDEDF中，寻找关系。两个思路，最终都需要通过解DEF，找到垂直关系或长度，此处学生遇到的问题是，DEFDFEF不少学生在中只能得到与的长度，条件不足以解三角形，无法继续进行下去。分析：（1）的错解