广州高中数学奥赛班专题资料-由数列的递推公式求通项公式

由数列的递推公式求通项公式一准备知识所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作{an}，an的公式叫做数列的通项公式．常用的数列有等差数列和等比数列．等差数列等比数列定义数列{an}的后一项与前一项的差an－an－1为常数d数列{an}的后一项与前一项的比1nnaa为常数q（q≠0）专有名词d为公差q为公比通项公式an=a1+（n－1）dan=a1·qn－1前n项和Sn=22)1(11naadnnnanSn=qqan111数列的前n项和Sn与通项公式an的关系是：an=Sn－Sn－1（n≥2）．有些数列不是用通项公式给出，而是用an与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：an＋1=2an+3，这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们可以求出其通项公式．数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题．二例题精讲例1．（裂项求和）求Sn=222222)12()12(853283118nnn．解：因为an=22)12()12(8nnn=22)12(1)12(1nn所以Sn=222222)12(1)12(151313111nn=1－2)12(1n例2．（倒数法）已知数列{an}中，a1=53，an+1=12nnaa，求{an}的通项公式．解：211211nnnnaaaa∴na1是以35为首项，公差为2的等差数列，即351na+2（n－1）=316n∴an=163n练习1．已知数列{an}中，a1=1，Sn=1211nnSS，求{an}的通项公式．解：21121111nnnnSSSS∴nS1是以1为首项，公差为2的等差数列．∴nS1=1+2（n－1）=2n－1，即Sn=121n．∴an=Sn－Sn－1=321121nn=)32)(12(2nn∴an=3211211nn)2()1(nn例3．（求和法，利用公式an=Sn－Sn－1，n≥2）已知正数数列{an}的前n项和Sn=nnaa121，求{an}的通项公式．解：S1=a1=11121aa，所以a1=1．∵an=Sn－Sn－1∴2Sn=Sn－Sn－1+11nnSS∴Sn+Sn－1=11nnSS，即Sn2－Sn－12=1∴2nS是以1为首项，公差为1的等差数列．∴Sn2=n，即Sn=n∴an=Sn－Sn－1=n－1n（n≥2）∴an=n－1n．例4．（叠加法）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3×（－21）n－1（n≥3），且S1=1，S2=－23，求{an}的通项公式．解：先考虑偶数项有：S2n－S2n－2=－3·1221nS2n－2－S2n－4=－3·3221n……S4－S2=－3·321将以上各式叠加得S2n－S2=－3×4114112113n，所以S2n=－2+)1(2112nn．再考虑奇数项有：S2n＋1－S2n－1=3·n221S2n－1－S2n－3=3·2221n……S3－S1=3·221将以上各式叠加得S2n＋1=2－)1(212nn．所以a2n+1=S2n+1－S2n=4－3×n221，a2n=S2n－S2n－1=－4+3×1221n．综上所述an=为偶数，为奇数nnnn112134,2134，即an=（－1）n－1·12134n．例5．（an+1=pan+r类型数列）在数列{an}中，an+1=2an－3，a1=5，求{an}的通项公式．解：∵an+1－3=2（an－3）∴{an－3}是以2为首项，公比为2的等比数列．∴an－3=2n∴an=2n+3．练习2．在数列{an}中，a1=2，且an+1=212na，求{an}的通项公式．解：an+12=21an2+21∴an+12－1=21（an2－1）∴{an+12－1}是以3为首项，公比为21的等差数列．∴an+12－1=3×121n，即an=1231n例6（an+1=pan+f（n）类型）已知数列{an}中，a1=1，且an=an－1+3n－1，求{an}的通项公式．解：（待定系数法）设an+p·3n=an－1+p·3n－1则an=an－1－2p·3n－1，与an=an－1+3n－1比较可知p=－21．所以23nna是常数列，且a1－23=－21．所以23nna=－21，即an=213n．练习3．已知数列{an}满足Sn+an=2n+1，其中Sn是{an}的前n项和，求{an}的通项公式．解：∵an=Sn－Sn－1∴Sn+Sn－Sn－1=2n+1∴2Sn=Sn－1+2n+1（待定系数法）设2（Sn+pn+q）=Sn－1+p（n－1）+q化简得：－pn－p－q=2n+1，所以12qpp，即12qp∴2（Sn－2n+1）=Sn－2（n－1）+1，又∵S1+a1=2+1=3，∴S1=23，S1－2+1=21∴{Sn－2n+1}是以21为公比，以21为首项的等比数列．∴Sn－2n+1=n21，即Sn=n21+2n－1，an=2n+1－Sn=2－n21．例7．（an+1=panr型）（2005年江西高考题）已知数列{an}各项为正数，且满足a1=1，an+1=)4(21nnaa．（1）求证：anan+12；（2）求{an}的通项公式．解：（1）略．（2）an+1=－21（an－2）2+2∴an+1－2=－21（an－2）2∴2－an+1=21（2－an）2∴由（1）知2－an0，所以log2（2－an+1）=log221（2－an）2=2·log2（2－an）－1∴log2（2－an+1）－1=2［log2（2－an）－1］即{log2（2－an）－1}是以―1为首项，公比为2的等比数列∴log2（2－an）－1=－1×2n－1化简得an=2－1212n．练习4．（2006年广州二模）已知函数4444(1)(1)()(1)(1)xxfxxx（0x）．在数列{}na中，12a，1()nnafa（nN），求数列{}na的通项公式．解：4444114441(1)(1)1(1)1(1)(1)1(1)1nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa，从而有1111ln4ln11nnnnaaaa，由此及111lnln301aa知：数列1ln1nnaa是首项为ln3，公比为4的等比数列，故有11141441131ln4ln331131nnnnnnnnnaaaaa（nN）。例8．（三角代换类型）已知数列{an}中，a1=2，an=1111nnaa，求{an}的通项公式．解：令an－1=tan，则an+1=tan4tan1tan4tan=tan4∴an=tan2tan4)1(atcn．