宏观经济数量分析方法03-最优化理论初步

第三章最优化理论初步§3.1基本问题最优化要解决的基本问题是：)(minxf0)(..xigtsi=1，2，…，m0)(xjhj=1，2，…，n其中，nRx，f，gi，hj都定义在开集nRD。f称为目标函数，gi，hj称为约束条件。无约束条件的优化问题称为无约束极值问题，带有约束条件的优化问题称为约束极值问题。最优化理论研究的主要内容：1）解的存在性条件；2）近似算法。常用的四种方法：1）Lagrange方法；2）差分方法；3）极大极小原理（Pontryagin原理）；4）动态规划（Bellmen方法）。基本定理Kuhn-Tucker定理§3.2基础知识1）梯度Tnxfxff),,(1Hesse矩阵jixxff22，i，j=1，2，…，n222212222221221221212nnnnnnxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxf2）凸分析初步凸集的定义设S是Rn空间中的一个子集，若对任意的,xyS，及任意的01，有(1)xyS则称S是Rn空间中的凸集。凸集的性质：1、凸集的交集也是凸集；2、定义集合1122{:,,,1,2,,}nniiiSzzaxaxaxxSaRin称为iS的线性和。设iS，1,2,,in都是Rn空间中的凸集，则也是Rn空间中的凸集；3、设iS，1,2,,in都是Rn空间中的凸集，则它们的笛卡尔积也是Rn空间中的凸集。凸函数和凹函数的定义：定义：设f是定义在Rn空间中的凸集S上的实值函数，若对,xyS和01，有[(1)]()(1)()fxyfxfy则称f是定义在S上的凹函数。若有[(1)]()(1)()fxyfxfy则称f是定义在S上的凸函数。若对任意的,xyS，上述不等式都是严格的不等式，则称函数为严格凹（凸）函数。一元凸（凹）函数的几何意义是曲线上任意两点的连线都在曲线的上（下）方。如图。注意：1、线性函数是唯一一个既是凹函数，有是凸函数的函数。2、一个函数有无凸性，与它的定义域有关，如函数-3-2-1123-1-0.50.51sinyx。凹函数的一些常用性质：1、设f是定义在凸集S上的实值函数，则对于aR，集合{:,()}xxSfxa是凸集；2、凹函数的非负线性组合仍是凹函数，即对于0ia，1,2,,ik，若if，1,2,,ik是凹函数，则1122kkafafaf也是凹函数；3、设S是Rn空间中的凸集，f是S上的实值凹函数的必要充分条件是对任意正数k，及任意的ixS，0i，且121k，有11221122()()()()kkkkfxxxfxfxfx4、设S是Rn空间中的凸集，f是S上的实值可微函数，f是凹函数的必要充分条件是对任意的01,xxS，01010()()()xxfxxfxfx5、设S是Rn空间中的开凸集，f是S上的实值二阶可微实值函数，则i.f在S上是凹的，当且仅当对xS，2()fx是半负定的；ii.如果对xS，2()fx是负定的，则f在S上是严格凹的；iii.f在S上是凸的，当且仅当对xS，2()fx是半正定的；iv.如果对xS，2()fx是正定的，则f在S上是严格凸的。设有生产函数()yfx。其中，x表示n个要素的投入量，y表示单一产品的产出。假设f是凹函数，则由性质5，对01,nxxR，且01xx，有01010()()()()xxfxxxfxfx和10101()()()()xxfxxxfxfx取定i，对任意的ji，令10jjxx，然后，让i遍取1，2，…，n，则有0110()()()0iiiifxfxxxxx。设10iixx，则对1,2,,in，有01()()0iifxfxxx即f对每个变量的偏导数都是非增的。这说明如果生产函数是凹的，则任何要素的边际产出都是非增的。特别地，若f是严格凹函数，则任何要素的边际产出都是递减的。如果f代表消费者的效用函数，则效用函数的凹性假设表明效用边际递减的特性。若进一步假定生产（效用）函数是二阶可微的，则可直接得到产出（效用）的非增性质。3）无约束极值问题一阶必要条件：0)(*xf；二阶充分条件：)(*2xf正定极小；)(*2xf负定极大。4）等式约束与Lagrange方法问题：)(minxf0)(..xigts，i=1，2，…，m或者，令Tmgg))(,),(()(1xxxg，则上面的问题可以改写为)(minxf0)(..xgts通常假设)(xg连续可微。设mR，令)()()(xgxx,fL称为原问题的Lagrange函数。容易证明，L的无约束极值点),(**x中的*x是原问题的约束极值点。证明该结论的基本思想：（为简化记号，以两个变量，一个约束为例）设问题为),(minyxfz0),(..yxgts假设由约束中可以将y解出来，记为y=k（x）。将它带入目标函数，有))(,(),(xkxfyxfz这样，就把约束极值问题转变为无约束极值问题了。根据极值的一阶必要条件，有0dxdyyfxfdxdz注意到，在隐函数0),(yxg中，y对x导数为ygxgdxdy带入上式，有0ygxgyfxf整理得并引入新记号ygufxgxf则极值点的必要条件可以写为0xgxf0ygyf0),(yxg上面的三个式子正是Lagrange函数的偏导数。在L的最优解中，称*是原问题的Lagrange乘子，在经济研究中，也称为影子价格。影子价格的经济意义：假设目标函数代表利润函数，约束条件表示需投入的资源及限额。则影子价格表示在最优生产计划处，再增加一单位的资源所带来的利润。可以证明，*x是函数),(*xL的极小值点，*是函数),(*xL的极大值点。一般来说，设有函数)(y,xF，若点),(**yx满足条件：)()()(****y,xy,xy,xFFF则称),(**yx是函数(,)Fx的鞍点。5）最大最小问题在最优化理论中，我们要寻找最大值或最小值，但是，给出的条件仅仅是极值点的条件。其原因如图。为了保证极值点也是最值点，需要增加一个条件，即凸性假设。大多数极值点的必要条件，增加凸性条件后，就变成了必要充分条件了。§3.3有不等式约束的极值问题记mTmRggg))(,),(),(()(21xxxxg，pTpRhhh))(,),(),(()(21xxxxh，则一般的最优化模型可以简写为)(minxf（P）0)(..xgts0)(xh解决该问题的难点：极值点*x有可能在0)(*xig处取得。一阶Kuhn-Tucker条件（必要条件）设*x是问题（P）的解，g,f在*x处可微，h在*x处连续可微，pjhjx*,,2,1)(线性独立，且存在nRz，满足条件：若0)(*xig，则0)(zx*ig和0)(zx*jh，j=1，2，…，p，则存在mR*，**R，使得0)()()(*****xhxgxf0)(**ixigi=1，2，…，m（松弛条件）0*在这里，**,也是影子价格。松弛条件的意义：假设在*x处，0)(*xig，这意味着在最优处，第i种资源有多余的。因此，影子价格为0；若0)(*xig，这意味着在最优处，第i种资源是紧缺的，是一个瓶颈，故其影子价格大于0。例1：)(minxf0)(..xgts引入与无约束极值问题同样的Lagrange函数)()(),(xgxxfL，则它的T-K条件是0Lx0L0)(**ixigi=1，2，…，m（松弛条件）0*i例2)(minxf0)(..xgts其T-K条件是0Lx0L0)(**ixigi=1，2，…，m（松弛条件）0*i例3)(maxxf0)(..xgts其T-K条件是0Lx0L0)(**ixigi=1，2，…，m（松弛条件）0*i例4)(maxxf0)(..xgts其T-K条件是0Lx0L0)(**ixigi=1，2，…，m（松弛条件）0*i§3.4影子价格现在以线性规划为例，解释影子价格的经济意义。下列一对线性规划称为互为对偶的规划：xcmin（A）bxAts..0xbymax（B）cyAts..0y在经济学中，yx,互称为影子价格。例：某厂生产甲、乙两种产品，需要先后经过两种机床加工。甲产品在机床1上所需加工工时为3，在机床2上为3；乙产品在机床1上所需加工工时为1，在机床2上为4；机床1、2的可用工时分别为48、120；甲、乙产品的利润分别为5、6。问题1甲、乙产品各生产多少，能使利润最大？问题2若将机床出租，问租金至少是多少？解：设产品产量为x1，x2；机床租金y1，y2。则上述两问题的数学模型分别为下列两个线性规划：2165maxxx（A）483..21xxts1204321xx0,21xx2112048minyy（B）533..21yyts6421yy0,21yy容易看出，模型（A）和模型（B）互为对偶。因此，某种资源的影子价格就是一单位该资源的赢利能力。因此它具有价格特性，然而，这种价格不会出现在交易中，故称为影子价格。§3.5