实变函数_周其生_实变函数试卷三及答案

（第1页，共7页）试卷三（参考答案及评分标准）一、一单项选择题（3分×5=15分）1、设1[,2(1)],1,2,nnAnn，则（B）(A)lim[0,1]nnA（B）nnAlim(0,1](C)lim(0,3]nnA（D）lim(0,3)nnA2、设E是0,1上有理点全体，则下列各式不成立的是（D）（A）'[0,1]E(B)oE(C)E=[0，1](D)1mE3、下列说法不正确的是（C）(A)若BA，则BmAm**（B）有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集(C)可测集的任何子集都可测（D）凡开集、闭集皆可测4、设}{nE是一列可测集，nEEE21，且1mE，则有（A）（A）nnnnmEEmlim1(B)nnnnmEEmlim1（C）nnnnmEEmlim1;（D）以上都不对5、设f(x)是],[ba上绝对连续函数，则下面不成立的是（B）(A))(xf在],[ba上的一致连续函数(B))(xf在],[ba上处处可导（C）)(xf在],[ba上L可积(D))(xf是有界变差函数二.二填空题(3分×5=15分)考生答题不得超此线考生答题不得超此线考生答题不得超此线（第2页，共7页）1、设集合NM，则()MMN______N____2、设P为Cantor集，则Pc，mP_0____，oP=________。3、设E是nR中点集，如果对任一点集T都有___***()()mTmTEmTCE_______，则称E是L可测的4、叶果洛夫定理：设}{,)(nfEm是E上一列..ea收敛于一个..ea有限的函数f的可测函数，则对任意,0存在子集EE，使}{nf在E上一致收敛且)\(EEm。5、设)(xf在E上可测，则)(xf在E上可积的充要条件是|)(xf|在E上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”）三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、任意多个开集之交集仍为开集。解：不成立…………2分反例：设Gn=(nn11,11),n=1,2,,每个Gn为开集但1]1,1[nnG不是开集.…………5分2、若0mE，则E一定是可数集.解：不成立………………2分反例:设E是Cantor集，则0mE，但Ec，故其为不可数集…………….5分3、..ae收敛的函数列必依测度收敛。（第3页，共7页）解：不成立………………………2分例如：取(0,),E作函数列：1,(0,]()1,2,0,(,)nxnfxnxn显然()1,nfx当xE。但当01时，[|1|](,)nEfn且(,)mn这说明()nfx不测度收敛到1…………5分4、连续函数一定是有界变差函数。解：不成立………………2分例如：cos,01,()20,0.xxfxxx显然是0,1的连续函数。如果对0,1取分划1111:0122132Tnn，则容易证明21111|()()|nniiiifxfxi，从而得到10()Vf…………………5分四、解答题（8分×2=16分）.1、（8分）设2,()0,xxfxx为无理数为有理数，则()fx在0,1上是否R可积，是否L可积，若可积，求出积分值。解：()fx在0,1上不是R可积的，因为()fx仅在0x处连续，即不连续点为正测度集……………………………………..3分因为()fx是有界可测函数，()fx在0,1上是L可积的…6分因为()fx与2x..ae相等，进一步，120,101()3fxdxxdx…8分（第4页，共7页）2、求极限1213220limsin1nnxnxdxnx解：记12322()sin1nnxfxnxnx则)(xfn在[0,1]上连续,因而在[0,1]上（R）可积和（L）可积.……………..2分又]1,0[,0)(limxxfnn………………4分111223222221|()||sin|||211nnxnxfxnxxnxnx,2,1],1,0[nx……….6分且2121x在]1,0[上非负可积,故由Lebesgue控制收敛定理得12111322000lim()()limsin001nnnnxRfxdxnxdxdxnx……………、….8分五、证明题（6分×4+10=34分）.1、（6分）试证(0,1)~[0,1]证明：记(0,1)中有理数全体12{,,}Qrr,令()x122(0)(1)(),1,2(),[01]nnrrrrnxxx为，中无理数，显然[01]0111是，到（，）上的映射……………………………5分所以(0,1)~[0,1]…………………………………6分（第5页，共7页）2、（6分）设f(x)是),(上的实值连续函数，则对任意常数c，})(|{cxfxE是一开集.证明:.)(,00cxfEx即…………….1分因f（x）连续，故cxfxx）时，有(),(,00.………….4分即Ex)(0.所以0x是E的内点.由0x的任意性,E的每一个点都是内点,从而E为开集.……………6分3、（6分）设()fx是可测集E的非负可积函数，()gx是E的可测函数，且|()|()gxfx，则()gx也是E上的可积函数。证明：|()|()gxfx，()(),()()gxfxgxfx…………………1分()()()nnnnEEEgxdxfxdxfxdx()fx是可测集E的非负可积函数limn()()nnEEgxdxfxdx()gx是E上的可积函数.…………………..4分同理，()gx也是E上的可积函数.()gx是E上的可积函数。………………6分4、（6分）设()fx在E上积分确定，且()().fxgxae于E，则()gx在E上也积分确定，且()()EEfxdxgxdx考生答题不得超过此线（第6页，共7页）证明：()().fxgxae于E[]0mEfg[][]()()0EfgEfgfxdxgxdx[][]()()()EEfgEfgfxdxfxdxfxdx[][]()()()EfgEfgEgxdxgxdxgxdx()fx在E上积分确定，()gx在E上也积分确定，且()()EEfxdxgxdx5、（10分）设在E上)()(xfxfn,而..)()(eaxgxfnn成立,,2,1n,则有)()(xfxgn证明:记][nnngfEE,由题意知0nmE由0)(11nnnnmEEm知0)(1nnEm…………2分对任意0,由于]|[|)(]|[|1ffEEfgEnnnn从而有:])|[|(])|[|()(]|[|1ffEmffEmEmfgmEnnnnn…………6分又因为在E上)()(xfxfn,故0])|[|(limffEmnn…………8分所以0])|[|(lim])|[|(lim0ffEmfgEmnnnn于是:0])|[|(limfgEmnn故在E上有)()(xfxgn…………10分（第7页，共7页）